Номер 18.22, страница 85 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

18.22*. Существует ли линейное уравнение с двумя неизвестными, для которого пары чисел (-7; -2) и (3; 1) являются решениями и у которого:

а) коэффициент при переменной $y$ равен 5;

б) коэффициент при переменной $y$ равен -1;

в) сумма коэффициентов при переменных равна 7;

г) сумма коэффициентов при переменных равна 0?

Если да, то запишите это уравнение.

Пусть искомое линейное уравнение имеет вид $ax + by = c$, где $a$ и $b$ одновременно не равны нулю.

Поскольку пары чисел $(-7; -2)$ и $(3; 1)$ являются решениями этого уравнения, они должны удовлетворять ему. Подставим значения $x$ и $y$ в уравнение, чтобы получить систему из двух уравнений с тремя неизвестными $a$, $b$ и $c$:

Упростим систему:

Поскольку правые части уравнений равны, мы можем приравнять их левые части:

$-7a - 2b = 3a + b$

$-10a = 3b$

Отсюда мы можем выразить $b$ через $a$: $b = -\frac{10}{3}a$.

Теперь выразим $c$ через $a$, используя второе уравнение системы $c = 3a + b$:

$c = 3a + (-\frac{10}{3}a) = \frac{9a - 10a}{3} = -\frac{1}{3}a$

Таким образом, любое линейное уравнение, проходящее через заданные точки, должно иметь коэффициенты, пропорциональные найденным. Подставим выражения для $b$ и $c$ в исходное уравнение $ax + by = c$:

$ax + (-\frac{10}{3}a)y = -\frac{1}{3}a$

Поскольку $a$ и $b$ не могут быть одновременно равны нулю, то $a \neq 0$. Мы можем разделить все уравнение на $a$:

$x - \frac{10}{3}y = -\frac{1}{3}$

Умножив обе части на $-3$, получим уравнение с целыми коэффициентами:

$-3x + 10y = 1$

Любое другое уравнение, удовлетворяющее этому условию, может быть получено умножением этого уравнения на некоторый ненулевой коэффициент $k$. Общий вид такого уравнения:

$k(-3x + 10y) = k(1)$

$-3kx + 10ky = k$

Теперь рассмотрим каждое из условий задачи.

а) коэффициент при переменной y равен 5;

Коэффициент при $y$ в нашем общем уравнении равен $10k$. Согласно условию, он должен быть равен 5:

$10k = 5$

$k = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Поскольку $k \neq 0$, такое уравнение существует. Подставим $k = \frac{1}{2}$ в общее уравнение:

$-3(\frac{1}{2})x + 10(\frac{1}{2})y = \frac{1}{2}$

$-\frac{3}{2}x + 5y = \frac{1}{2}$

Ответ: да, существует. Уравнение: $-\frac{3}{2}x + 5y = \frac{1}{2}$.

б) коэффициент при переменной y равен –1;

Коэффициент при $y$ равен $10k$. По условию:

$10k = -1$

$k = -\frac{1}{10}$

Поскольку $k \neq 0$, такое уравнение существует. Подставим $k = -\frac{1}{10}$ в общее уравнение:

$-3(-\frac{1}{10})x + 10(-\frac{1}{10})y = -\frac{1}{10}$

$\frac{3}{10}x - y = -\frac{1}{10}$

Ответ: да, существует. Уравнение: $\frac{3}{10}x - y = -\frac{1}{10}$.

в) сумма коэффициентов при переменных равна 7;

Коэффициенты при переменных в общем уравнении равны $-3k$ и $10k$. Их сумма должна быть равна 7:

$-3k + 10k = 7$

$7k = 7$

$k = 1$

Поскольку $k \neq 0$, такое уравнение существует. Подставим $k = 1$ в общее уравнение:

$-3(1)x + 10(1)y = 1$

$-3x + 10y = 1$

Ответ: да, существует. Уравнение: $-3x + 10y = 1$.

г) сумма коэффициентов при переменных равна 0?

Сумма коэффициентов при переменных равна $-3k + 10k = 7k$. По условию:

$7k = 0$

$k = 0$

Если $k=0$, то коэффициенты при $x$ и $y$ становятся равными нулю: $a = -3(0) = 0$ и $b = 10(0) = 0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x + 0 \cdot y = 0$. В линейном уравнении с двумя неизвестными $ax+by=c$ по определению коэффициенты $a$ и $b$ не могут быть одновременно равны нулю. Следовательно, такого линейного уравнения с двумя неизвестными не существует.

Ответ: нет, не существует.