Номер 17.49, страница 82 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

17.49*. Постройте график функции $y = x^8 - (x^4 - 3)(x^4 + 3)$. Проходит ли построенный график через точку с координатами A(-100; 9)?

Постройте график функции $y = x^8 - (x^4 - 3)(x^4 + 3)$.

Для того чтобы построить график функции, сначала упростим ее выражение. Выражение в скобках $(x^4 - 3)(x^4 + 3)$ представляет собой произведение разности и суммы двух членов, которое можно раскрыть по формуле разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

В данном случае $a = x^4$ и $b = 3$. Применим формулу:

$(x^4 - 3)(x^4 + 3) = (x^4)^2 - 3^2 = x^{4 \cdot 2} - 9 = x^8 - 9$.

Теперь подставим это упрощенное выражение обратно в исходное уравнение функции:

$y = x^8 - (x^8 - 9)$

Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри них на противоположные:

$y = x^8 - x^8 + 9$

Приведя подобные слагаемые, получаем:

$y = 9$

Таким образом, исходная функция является константой. Ее график — это прямая линия, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку (0, 9) на оси ординат (оси Oy). Для любого значения $x$ значение $y$ будет равно 9.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=9$.

Проходит ли построенный график через точку с координатами A(-100; 9)?

Чтобы определить, проходит ли график через заданную точку, нужно подставить координаты этой точки в уравнение функции.

Координаты точки A: $x = -100$, $y = 9$.

Уравнение нашей функции, как мы выяснили, $y = 9$.

Подставим координату $y$ точки А в уравнение функции:

$9 = 9$

Полученное равенство является верным. Уравнение $y=9$ не зависит от переменной $x$, поэтому оно верно для любого значения $x$, в том числе и для $x=-100$. Следовательно, точка A(-100; 9) лежит на графике функции.

Ответ: Да, график проходит через точку A(-100; 9).