Номер 14.39, страница 66 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.39*. Найдите, при каких значениях переменной не имеет смысла выражение:

а) $ \frac{1}{|3x+4|-3} $;

б) $ \frac{8}{|x+5|+|x-2|-7} $.

а)

Дробное выражение не имеет смысла, когда его знаменатель равен нулю. Чтобы найти значения переменной, при которых данное выражение не имеет смысла, нужно приравнять его знаменатель к нулю и решить полученное уравнение.

Знаменатель выражения $\frac{1}{|3x + 4| - 3}$ равен $|3x + 4| - 3$.

Приравниваем знаменатель к нулю:

$|3x + 4| - 3 = 0$

Переносим 3 в правую часть уравнения:

$|3x + 4| = 3$

Это уравнение с модулем эквивалентно двум линейным уравнениям:

1) $3x + 4 = 3$

$3x = 3 - 4$

$3x = -1$

$x = -\frac{1}{3}$

2) $3x + 4 = -3$

$3x = -3 - 4$

$3x = -7$

$x = -\frac{7}{3}$

Следовательно, выражение не имеет смысла при двух значениях переменной $x$.

Ответ: при $x = -\frac{1}{3}$ и $x = -\frac{7}{3}$.

б)

Данное выражение $\frac{8}{|x + 5| + |x - 2| - 7}$ не имеет смысла, когда его знаменатель обращается в ноль. Приравняем знаменатель к нулю:

$|x + 5| + |x - 2| - 7 = 0$

Перенесем 7 в правую часть:

$|x + 5| + |x - 2| = 7$

Для решения этого уравнения с двумя модулями используем метод интервалов. Найдем точки, в которых выражения под знаком модуля меняют знак (нули подмодульных выражений):

$x + 5 = 0 \implies x = -5$

$x - 2 = 0 \implies x = 2$

Эти точки делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty, -5)$, $[-5, 2)$ и $[2, +\infty)$. Рассмотрим каждый промежуток отдельно.

1. При $x < -5$:

Оба выражения, $x+5$ и $x-2$, отрицательны. Раскрываем модули с противоположным знаком:

$-(x + 5) - (x - 2) = 7$

$-x - 5 - x + 2 = 7$

$-2x - 3 = 7$

$-2x = 10$

$x = -5$

Полученное значение $x=-5$ не входит в рассматриваемый промежуток $x < -5$.

2. При $-5 \le x < 2$:

Выражение $x+5$ неотрицательно, а $x-2$ отрицательно. Раскрываем модули соответственно:

$(x + 5) - (x - 2) = 7$

$x + 5 - x + 2 = 7$

$7 = 7$

Получено верное числовое равенство. Это означает, что все значения $x$ из промежутка $[-5, 2)$ являются решениями уравнения.

3. При $x \ge 2$:

Оба выражения, $x+5$ и $x-2$, неотрицательны. Раскрываем модули с тем же знаком:

$(x + 5) + (x - 2) = 7$

$2x + 3 = 7$

$2x = 4$

$x = 2$

Полученное значение $x=2$ входит в рассматриваемый промежуток $x \ge 2$.

Объединяя все найденные решения, получаем, что уравнение верно для всех $x$ из промежутка $[-5, 2)$ и для $x=2$. Таким образом, решением является отрезок $[-5, 2]$.

Также можно использовать геометрическую интерпретацию. Выражение $|a - b|$ — это расстояние между точками $a$ и $b$ на числовой прямой. Наше уравнение можно переписать как $|x - (-5)| + |x - 2| = 7$. Оно означает, что сумма расстояний от точки $x$ до точек $-5$ и $2$ равна 7. Расстояние между точками $-5$ и $2$ равно $|2 - (-5)| = 7$. Сумма расстояний от точки до концов отрезка равна длине самого отрезка тогда и только тогда, когда точка лежит на этом отрезке. Значит, $x$ принадлежит отрезку $[-5, 2]$.

Таким образом, выражение не имеет смысла при $x \in [-5, 2]$.

Ответ: при $-5 \le x \le 2$.