Номер 13.6, страница 56 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13.6. Разложите многочлен на множители:

а) $7a^4 - 3a^2 + 2a;$

б) $3a^3 - 12a^2 + 15a;$

в) $ab^2 - ab + b^2;$

г) $ab^2 + 7a^2b - ab.$

а) Чтобы разложить многочлен $7a^4 - 3a^2 + 2a$ на множители, нужно найти общий множитель для всех его членов и вынести его за скобки.
1. Находим наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов 7, -3, 2. Так как эти числа взаимно простые, их НОД равен 1.
2. Находим общий множитель для переменных. Все члены многочлена содержат переменную $a$. Выбираем наименьшую степень, в которой $a$ входит в каждый член. Это $a^1$ или просто $a$.
3. Общий множитель всего многочлена – это $a$.
4. Выносим $a$ за скобки, разделив каждый член многочлена на $a$:
$7a^4 - 3a^2 + 2a = a \cdot (7a^{4-1}) - a \cdot (3a^{2-1}) + a \cdot (2a^{1-1}) = a(7a^3 - 3a + 2)$.

Ответ: $a(7a^3 - 3a + 2)$

б) Разложим на множители многочлен $3a^3 - 12a^2 + 15a$.
1. Находим НОД коэффициентов 3, 12, 15. НОД(3, 12, 15) = 3.
2. Общим множителем для переменных $a^3, a^2, a$ является $a$ в наименьшей степени, то есть $a$.
3. Общий множитель всего многочлена – это произведение НОД коэффициентов и общего множителя переменных, то есть $3a$.
4. Выносим $3a$ за скобки:
$3a^3 - 12a^2 + 15a = 3a \cdot (a^2) - 3a \cdot (4a) + 3a \cdot (5) = 3a(a^2 - 4a + 5)$.
Квадратный трехчлен в скобках $a^2 - 4a + 5$ не раскладывается на множители с действительными коэффициентами, так как его дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$ отрицателен.

Ответ: $3a(a^2 - 4a + 5)$

в) Разложим на множители многочлен $ab^2 - ab + b^2$.
1. НОД коэффициентов 1, -1, 1 равен 1.
2. Переменная $a$ присутствует не во всех членах многочлена, поэтому ее нельзя вынести за скобки. Переменная $b$ есть во всех членах. Наименьшая степень $b$ – это $b^1$ или $b$.
3. Общий множитель – это $b$.
4. Выносим $b$ за скобки:
$ab^2 - ab + b^2 = b \cdot (ab) - b \cdot (a) + b \cdot (b) = b(ab - a + b)$.

Ответ: $b(ab - a + b)$

г) Разложим на множители многочлен $ab^2 + 7a^2b - ab$.
1. НОД коэффициентов 1, 7, -1 равен 1.
2. Переменная $a$ есть во всех членах, наименьшая степень – $a$. Переменная $b$ также есть во всех членах, наименьшая степень – $b$.
3. Общий множитель для переменных – это $ab$.
4. Выносим $ab$ за скобки:
$ab^2 + 7a^2b - ab = ab \cdot (b) + ab \cdot (7a) - ab \cdot (1) = ab(b + 7a - 1)$.

Ответ: $ab(b + 7a - 1)$