Номер 12.50, страница 55 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.50*. а) Докажите, что если к произведению двух последовательных целых чисел прибавить большее из них, то получится квадрат большего числа.

б) Докажите, что если к произведению трех последовательных натуральных чисел прибавить среднее из них, то полученная сумма будет равна кубу среднего числа.

а)

Пусть даны два последовательных целых числа. Обозначим меньшее из них как $n$, тогда большее число будет $n+1$, где $n$ — любое целое число.

Согласно условию задачи, нужно к произведению этих двух чисел прибавить большее из них. Составим математическое выражение для этой операции:

$n \cdot (n+1) + (n+1)$

Теперь необходимо доказать, что это выражение равно квадрату большего числа, то есть $(n+1)^2$.

Преобразуем полученное выражение. Для этого вынесем общий множитель $(n+1)$ за скобки:

$n \cdot (n+1) + 1 \cdot (n+1) = (n+1)(n+1) = (n+1)^2$

Также можно было пойти путем раскрытия скобок:

$n(n+1) + (n+1) = n^2 + n + n + 1 = n^2 + 2n + 1$

Полученное выражение является полным квадратом, который можно свернуть по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2$

Оба способа приводят к одному и тому же результату, который доказывает утверждение: прибавление большего из двух последовательных целых чисел к их произведению дает квадрат большего числа. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б)

Пусть даны три последовательных натуральных числа. Для удобства алгебраических преобразований обозначим их как $n-1$, $n$ и $n+1$. Поскольку числа натуральные, то $n-1 \ge 1$, следовательно, $n \ge 2$. Среднее из этих трех чисел — $n$.

Согласно условию, к произведению этих трех чисел нужно прибавить среднее из них. Составим математическое выражение:

$(n-1) \cdot n \cdot (n+1) + n$

Требуется доказать, что это выражение равно кубу среднего числа, то есть $n^3$.

Преобразуем полученное выражение. Сначала заметим, что произведение $(n-1)(n+1)$ является разностью квадратов:

$(n-1)(n+1) = n^2 - 1^2 = n^2 - 1$

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$(n^2 - 1) \cdot n + n$

Раскроем скобки и упростим:

$n^3 - n + n = n^3$

Альтернативный способ решения — вынести общий множитель $n$ за скобки в самом начале:

$n \cdot [(n-1)(n+1) + 1] = n \cdot [(n^2 - 1) + 1] = n \cdot [n^2] = n^3$

Таким образом, доказано, что если к произведению трех последовательных натуральных чисел прибавить среднее из них, то полученная сумма будет равна кубу среднего числа. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.