Номер 12.28, страница 52 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.28. Решите уравнение:

а) $(x-1)^2-(x+1)^2 = -12;$

б) $(6-x)^2+(x-4)-x(x+2)=9.$

а) $(x-1)^2-(x+1)^2=-12$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и квадратом суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - (x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) = -12$

$(x^2 - 2x + 1) - (x^2 + 2x + 1) = -12$

Теперь раскроем вторые скобки. Так как перед ними стоит знак минус, все знаки внутри скобок изменятся на противоположные:

$x^2 - 2x + 1 - x^2 - 2x - 1 = -12$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (-2x - 2x) + (1 - 1) = -12$

$0 - 4x + 0 = -12$

$-4x = -12$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $-4$:

$x = \frac{-12}{-4}$

$x = 3$

Ответ: $3$

б) $(6-x)^2 + (x-4) - x(x+2) = 9$

Раскроем все скобки в левой части уравнения. Для первого слагаемого используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Для последнего слагаемого используем распределительное свойство умножения.

$(6^2 - 2 \cdot 6 \cdot x + x^2) + x - 4 - (x \cdot x + x \cdot 2) = 9$

$(36 - 12x + x^2) + x - 4 - (x^2 + 2x) = 9$

Раскроем оставшиеся скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$36 - 12x + x^2 + x - 4 - x^2 - 2x = 9$

$(x^2 - x^2) + (-12x + x - 2x) + (36 - 4) = 9$

Выполним вычисления в каждой группе:

$0 - 13x + 32 = 9$

$-13x + 32 = 9$

Перенесем число $32$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$-13x = 9 - 32$

$-13x = -23$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $-13$:

$x = \frac{-23}{-13}$

$x = \frac{23}{13}$

При желании можно выделить целую часть: $x = 1\frac{10}{13}$.

Ответ: $\frac{23}{13}$