Номер 12.22, страница 51 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.22. Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида:

а) $(a + 8b)(a - 8b) - a^2$;

б) $n^2 + (n + 6m)(6m - n)$;

в) $(3x - 2y)(2y + 3x) - 9x^2$;

г) $49c^2 - (2b + 7c)(7c - 2b)$.

а) Чтобы представить выражение $(a+8b)(a-8b) - a^2$ в виде многочлена стандартного вида, воспользуемся формулой разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$ для произведения $(a+8b)(a-8b)$.

$(a+8b)(a-8b) = a^2 - (8b)^2 = a^2 - 64b^2$.

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$(a^2 - 64b^2) - a^2 = a^2 - 64b^2 - a^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) - 64b^2 = -64b^2$.

Ответ: $-64b^2$.

б) Чтобы представить выражение $n^2 + (n+6m)(6m-n)$ в виде многочлена стандартного вида, преобразуем произведение $(n+6m)(6m-n)$.

Заметим, что $(n+6m) = (6m+n)$. Тогда произведение можно записать как $(6m+n)(6m-n)$.

Это формула разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$, где $x=6m$ и $y=n$.

$(6m+n)(6m-n) = (6m)^2 - n^2 = 36m^2 - n^2$.

Подставим результат в исходное выражение:

$n^2 + (36m^2 - n^2) = n^2 + 36m^2 - n^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$(n^2 - n^2) + 36m^2 = 36m^2$.

Ответ: $36m^2$.

в) Чтобы представить выражение $(3x-2y)(2y+3x) - 9x^2$ в виде многочлена стандартного вида, преобразуем произведение $(3x-2y)(2y+3x)$.

Переставим слагаемые во второй скобке: $(2y+3x) = (3x+2y)$.

Получим произведение $(3x-2y)(3x+2y)$, что является формулой разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$, где $x=3x$ и $y=2y$.

$(3x-2y)(3x+2y) = (3x)^2 - (2y)^2 = 9x^2 - 4y^2$.

Подставим результат в исходное выражение:

$(9x^2 - 4y^2) - 9x^2 = 9x^2 - 4y^2 - 9x^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$(9x^2 - 9x^2) - 4y^2 = -4y^2$.

Ответ: $-4y^2$.

г) Чтобы представить выражение $49c^2 - (2b+7c)(7c-2b)$ в виде многочлена стандартного вида, преобразуем произведение $(2b+7c)(7c-2b)$.

Переставим слагаемые в первой скобке: $(2b+7c) = (7c+2b)$.

Получим произведение $(7c+2b)(7c-2b)$, что является формулой разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$, где $x=7c$ и $y=2b$.

$(7c+2b)(7c-2b) = (7c)^2 - (2b)^2 = 49c^2 - 4b^2$.

Подставим результат в исходное выражение:

$49c^2 - (49c^2 - 4b^2)$.

Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри на противоположные:

$49c^2 - 49c^2 + 4b^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$(49c^2 - 49c^2) + 4b^2 = 4b^2$.

Ответ: $4b^2$.