Номер 10.14, страница 42 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.14. Разделите многочлен на одночлен:

а) $(a^2 + ab + ac + ad) : a;$

б) $(a^2 - ab - ac - ad) : a;$

в) $(a^2 + ab + ac + ad) : (-a);$

г) $(a^2 - ab - ac - ad) : (-a).$

а) Чтобы разделить многочлен $(a^2 + ab + ac + ad)$ на одночлен $a$, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен. Представим деление в виде дроби:

$(a^2 + ab + ac + ad) : a = \frac{a^2 + ab + ac + ad}{a} = \frac{a^2}{a} + \frac{ab}{a} + \frac{ac}{a} + \frac{ad}{a}$

Теперь выполним деление для каждого слагаемого, используя правило деления степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$a^{2-1} + a^{1-1}b + a^{1-1}c + a^{1-1}d = a^1 + a^0b + a^0c + a^0d$

Поскольку $a^0 = 1$, получаем:

$a + 1 \cdot b + 1 \cdot c + 1 \cdot d = a + b + c + d$

Ответ: $a + b + c + d$

б) Аналогично разделим многочлен $(a^2 - ab - ac - ad)$ на одночлен $a$:

$(a^2 - ab - ac - ad) : a = \frac{a^2}{a} - \frac{ab}{a} - \frac{ac}{a} - \frac{ad}{a}$

Выполняем деление каждого члена многочлена:

$a^{2-1} - a^{1-1}b - a^{1-1}c - a^{1-1}d = a^1 - a^0b - a^0c - a^0d = a - b - c - d$

Ответ: $a - b - c - d$

в) Разделим многочлен $(a^2 + ab + ac + ad)$ на одночлен $(-a)$. При делении на отрицательный одночлен знаки всех членов многочлена изменятся на противоположные.

$(a^2 + ab + ac + ad) : (-a) = \frac{a^2}{-a} + \frac{ab}{-a} + \frac{ac}{-a} + \frac{ad}{-a}$

Выполняем деление:

$-\frac{a^2}{a} - \frac{ab}{a} - \frac{ac}{a} - \frac{ad}{a} = -(a^{2-1}) - (a^{1-1}b) - (a^{1-1}c) - (a^{1-1}d) = -a - b - c - d$

Ответ: $-a - b - c - d$

г) Разделим многочлен $(a^2 - ab - ac - ad)$ на одночлен $(-a)$.

$(a^2 - ab - ac - ad) : (-a) = \frac{a^2}{-a} - \frac{ab}{-a} - \frac{ac}{-a} - \frac{ad}{-a}$

При делении на отрицательное число знаки делимого меняются на противоположные:

$-\frac{a^2}{a} - (-\frac{ab}{a}) - (-\frac{ac}{a}) - (-\frac{ad}{a}) = -a + b + c + d$

Ответ: $-a + b + c + d$