Номер 8.13, страница 37 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.13*. Замените $M$ таким многочленом, чтобы данное выражение стало многочленом второй степени:

a) $3a^2 - 6a + 12a^3 + 8 - 5a^5 + M;$

б) $12xy + 5x^3y - 4x^2 + 5y^8 + M.$

а)

Дано выражение: $3a^2 - 6a + 12a^3 + 8 - 5a^5 + M$.

Степень многочлена определяется наивысшей степенью его членов. Чтобы данное выражение стало многочленом второй степени, необходимо, чтобы после сложения с многочленом $M$ все члены со степенью выше второй были равны нулю.

В данном выражении есть члены со степенями 5 ($ -5a^5 $) и 3 ($ 12a^3 $). Наивысшая степень равна 5. Чтобы итоговая степень стала равна 2, нужно избавиться от всех членов, степень которых больше 2.

Для этого многочлен $M$ должен содержать такие члены, которые при сложении с исходными дадут ноль. То есть, $M$ должен "уничтожить" члены $-5a^5$ и $12a^3$.

Чтобы сумма $-5a^5$ и соответствующего члена из $M$ была равна нулю, этот член должен быть $5a^5$.

Чтобы сумма $12a^3$ и соответствующего члена из $M$ была равна нулю, этот член должен быть $-12a^3$.

Таким образом, простейший многочлен $M$, удовлетворяющий условию, это $M = 5a^5 - 12a^3$.

Проведем проверку. Подставим найденный $M$ в исходное выражение:

$3a^2 - 6a + 12a^3 + 8 - 5a^5 + (5a^5 - 12a^3) = 3a^2 - 6a + 8 + (12a^3 - 12a^3) + (-5a^5 + 5a^5) = 3a^2 - 6a + 8$.

Полученный многочлен $3a^2 - 6a + 8$ имеет наивысшую степень 2, следовательно, он является многочленом второй степени.

Ответ: $M = 5a^5 - 12a^3$.

б)

Дано выражение: $12xy + 5x^3y - 4x^2 + 5y^8 + M$.

Степень многочлена от нескольких переменных определяется наивысшей суммой степеней переменных в его членах. Чтобы данное выражение стало многочленом второй степени, необходимо, чтобы после сложения с многочленом $M$ все члены со степенью выше второй были равны нулю.

Определим степени членов данного многочлена: степень члена $12xy$ равна $1+1=2$; степень члена $5x^3y$ равна $3+1=4$; степень члена $-4x^2$ равна $2$; степень члена $5y^8$ равна $8$.

Наивысшая степень в выражении равна 8. Есть также член со степенью 4. Чтобы итоговый многочлен имел вторую степень, нужно избавиться от членов $5x^3y$ и $5y^8$.

Для этого многочлен $M$ должен содержать члены, противоположные им по знаку.

$M$ должен содержать член $-5x^3y$ (чтобы $5x^3y - 5x^3y = 0$) и член $-5y^8$ (чтобы $5y^8 - 5y^8 = 0$).

Следовательно, простейший многочлен $M$, удовлетворяющий условию, это $M = -5x^3y - 5y^8$.

Проведем проверку. Подставим найденный $M$ в исходное выражение:

$12xy + 5x^3y - 4x^2 + 5y^8 + (-5x^3y - 5y^8) = 12xy - 4x^2 + (5x^3y - 5x^3y) + (5y^8 - 5y^8) = 12xy - 4x^2$.

Полученный многочлен $12xy - 4x^2$ имеет вторую степень, так как степени его членов ($12xy$ и $-4x^2$) равны 2.

Ответ: $M = -5x^3y - 5y^8$.