Номер 7.16, страница 33 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.16. Представьте одночлен в виде степени другого одночлена:

a) $0.25b^{10} c^8 d^2$;

б) $-\frac{1}{32} x^{10} y^{15}$.

а) Чтобы представить одночлен $0.25b^{10}c^8d^2$ в виде степени другого одночлена, необходимо найти такой одночлен и такой показатель степени, чтобы при возведении первого во вторую получился исходный одночлен. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) показателей степеней всех переменных: НОД(10, 8, 2) = 2. Это говорит о том, что исходный одночлен можно представить в виде квадрата (второй степени) некоторого другого одночлена.

Представим каждый множитель исходного одночлена в виде квадрата:

• Коэффициент: $0.25 = 0.5 \cdot 0.5 = 0.5^2$.
• Переменная b: $b^{10} = b^{5 \cdot 2} = (b^5)^2$.
• Переменная c: $c^8 = c^{4 \cdot 2} = (c^4)^2$.
• Переменная d: $d^2 = (d^1)^2$.

Теперь, используя свойство степени произведения $(xyz)^n = x^n y^n z^n$, объединим полученные выражения:

$0.25b^{10}c^8d^2 = 0.5^2 \cdot (b^5)^2 \cdot (c^4)^2 \cdot d^2 = (0.5b^5c^4d)^2$.

Ответ: $(0.5b^5c^4d)^2$.

б) Чтобы представить одночлен $-\frac{1}{32}x^{10}y^{15}$ в виде степени другого одночлена, проанализируем его составляющие. Так как коэффициент $-\frac{1}{32}$ является отрицательным числом, то показатель искомой степени должен быть нечетным. Найдем наибольший общий делитель (НОД) показателей степеней переменных: НОД(10, 15) = 5. Число 5 является нечетным, что удовлетворяет условию.

Представим каждый множитель исходного одночлена в виде пятой степени:

• Коэффициент: $-\frac{1}{32} = -\frac{1}{2^5} = (-\frac{1}{2})^5$.
• Переменная x: $x^{10} = x^{2 \cdot 5} = (x^2)^5$.
• Переменная y: $y^{15} = y^{3 \cdot 5} = (y^3)^5$.

Теперь, используя свойство степени произведения, объединим полученные выражения:

$-\frac{1}{32}x^{10}y^{15} = (-\frac{1}{2})^5 \cdot (x^2)^5 \cdot (y^3)^5 = (-\frac{1}{2}x^2y^3)^5$.

Ответ: $(-\frac{1}{2}x^2y^3)^5$.