Номер 19, страница 210 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

19. Найдите число целых решений неравенства $\frac{(-x^2 + 4x - 5)(x^2 - 16)}{\sqrt{3}(x^2 + 6x + 9)} \ge 0$ на промежутке $[-20; 20]$.

Для решения неравенства $\frac{(-x^2 + 4x - 5)(x^2 - 16)}{\sqrt{3(x^2 + 6x + 9)}} \ge 0$ необходимо выполнить несколько шагов.

1. Нахождение Области Допустимых Значений (ОДЗ)

Выражение, стоящее под знаком квадратного корня в знаменателе, должно быть строго положительным.

$3(x^2 + 6x + 9) > 0$

Заметим, что выражение $x^2 + 6x + 9$ является полным квадратом суммы: $(x+3)^2$.

Таким образом, неравенство принимает вид:

$3(x+3)^2 > 0$

Так как $(x+3)^2 \ge 0$ для любых $x$, а множитель 3 положителен, то данное неравенство выполняется для всех $x$, кроме тех, при которых $(x+3)^2 = 0$.

$(x+3)^2 \ne 0 \Rightarrow x+3 \ne 0 \Rightarrow x \ne -3$.

Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

2. Упрощение неравенства

В области допустимых значений знаменатель $\sqrt{3(x+3)^2} = \sqrt{3}|x+3|$ всегда строго положителен. Это означает, что знак всей дроби определяется знаком ее числителя. Поэтому исходное неравенство равносильно следующему неравенству (с учетом ОДЗ):

$(-x^2 + 4x - 5)(x^2 - 16) \ge 0$

3. Анализ множителей

Рассмотрим первый множитель $-x^2 + 4x - 5$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицателен). Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(-1)(-5) = 16 - 20 = -4$.

Поскольку $D < 0$ и ветви параболы направлены вниз, значение выражения $-x^2 + 4x - 5$ всегда отрицательно для любого действительного $x$.

Так как первый множитель всегда отрицателен, мы можем разделить обе части неравенства на него, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x^2 - 16 \le 0$

4. Решение полученного неравенства

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x-4)(x+4) \le 0$

Решением этого неравенства, найденным методом интервалов, является отрезок между корнями $x=-4$ и $x=4$.

Решение: $x \in [-4; 4]$.

5. Нахождение целых решений на заданном промежутке

Теперь необходимо учесть ОДЗ ($x \ne -3$). Объединяя решение $x \in [-4; 4]$ с ОДЗ, получаем окончательное решение исходного неравенства:

$x \in [-4; -3) \cup (-3; 4]$.

В задаче требуется найти число целых решений на промежутке $[-20; 20]$. Так как найденный нами интервал решений $[-4; -3) \cup (-3; 4]$ целиком содержится в промежутке $[-20; 20]$, нам достаточно найти все целые числа, принадлежащие этому интервалу.

Выпишем эти целые числа:

-4, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Подсчитаем их количество: всего 8 чисел.

Ответ: 8