Номер 4, страница 209 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4. Укажите все нечетные функции:

1) $y = -2x^3$;

2) $y = \frac{x}{|x|}$;

3) $y = \sqrt{5x}$;

4) $y = |x - 7| + |x + 7|$;

5) $y = |x| - 3$.

а) 1); 2); б) 4); 5); в) 1); 2); 3);

г) 1); 3); 4); д) 1); 2); 5).

Функция $y=f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения $D(f)$ выполняются два условия:
1. Область определения симметрична относительно точки $O(0,0)$, то есть если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$.
2. Для любого $x \in D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Проверим каждую функцию на соответствие этому определению.

1) $y = -2x^3$

Пусть $f(x) = -2x^3$.
1. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.
2. Проверим равенство $f(-x) = -f(x)$:
$f(-x) = -2(-x)^3 = -2(-x^3) = 2x^3$.
$-f(x) = -(-2x^3) = 2x^3$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: функция нечетная.

2) $y = \frac{x}{|x|}$

Пусть $f(x) = \frac{x}{|x|}$.
1. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична относительно нуля, так как $x \neq 0$.
2. Проверим равенство $f(-x) = -f(x)$:
$f(-x) = \frac{-x}{|-x|} = \frac{-x}{|x|}$.
$-f(x) = -(\frac{x}{|x|}) = \frac{-x}{|x|}$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: функция нечетная.

3) $y = \sqrt{5x}$

Пусть $f(x) = \sqrt{5x}$.
1. Область определения $D(f)$ находится из условия $5x \ge 0$, то есть $x \ge 0$. $D(f) = [0; +\infty)$.
Эта область не является симметричной относительно нуля (например, точка $x=5$ входит в область определения, а $x=-5$ — нет).
Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: функция не является нечетной.

4) $y = |x - 7| + |x + 7|$

Пусть $f(x) = |x - 7| + |x + 7|$.
1. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична.
2. Проверим на четность/нечетность:
$f(-x) = |-x - 7| + |-x + 7| = |-(x + 7)| + |-(x - 7)|$.
Используя свойство модуля $|-a| = |a|$, получаем:
$f(-x) = |x + 7| + |x - 7| = f(x)$.
Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной, а не нечетной.
Ответ: функция не является нечетной.

5) $y = |x| - 3$

Пусть $f(x) = |x| - 3$.
1. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична.
2. Проверим на четность/нечетность:
$f(-x) = |-x| - 3 = |x| - 3 = f(x)$.
Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной, а не нечетной.
Ответ: функция не является нечетной.

Таким образом, нечетными являются функции под номерами 1 и 2.
Из предложенных вариантов ответа правильным является а).