Номер 20, страница 208 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

20. Найдите наименьшее значение числа $n$, при котором уравнение $3x^2 - 2nx - n + 6 = 0$ имеет один корень.

Данное уравнение $3x^2 - 2nx - n + 6 = 0$ является квадратным уравнением вида $ax^2 + bx + c = 0$. Квадратное уравнение имеет ровно один корень (или два совпадающих действительных корня) в том случае, когда его дискриминант $D$ равен нулю.

Коэффициенты данного уравнения:

$a = 3$

$b = -2n$

$c = -n + 6$

Формула для вычисления дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Подставим значения коэффициентов в формулу дискриминанта:

$D = (-2n)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-n + 6)$

Выполним преобразования:

$D = 4n^2 - 12(-n + 6)$

$D = 4n^2 + 12n - 72$

Теперь приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значения $n$, при которых исходное уравнение имеет один корень:

$4n^2 + 12n - 72 = 0$

Мы получили новое квадратное уравнение относительно переменной $n$. Для удобства решения разделим все его члены на 4:

$n^2 + 3n - 18 = 0$

Решим это уравнение. Найдем его дискриминант $D_n$:

$D_n = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$

Теперь найдем корни уравнения для $n$:

$n_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 9}{2}$

Вычисляем два возможных значения для $n$:

$n_1 = \frac{-3 + 9}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$n_2 = \frac{-3 - 9}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Таким образом, исходное уравнение имеет один корень при $n = 3$ и $n = -6$.

Согласно условию задачи, требуется найти наименьшее из этих значений.

Сравнивая $3$ и $-6$, находим, что наименьшим значением является $-6$.

Ответ: -6