Номер 38.14, страница 192 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

38.14. Решите неравенство $ \frac{2(x-3)}{x(x-6)} \le \frac{1}{x-1} $. В ответ запишите его наибольшее целое решение.

Исходное неравенство: $ \frac{2(x-3)}{x(x-6)} \le \frac{1}{x-1} $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому:$x(x-6) \ne 0 \implies x \ne 0$ и $x \ne 6$.$x-1 \ne 0 \implies x \ne 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, 6) \cup (6, +\infty)$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:$ \frac{2(x-3)}{x(x-6)} - \frac{1}{x-1} \le 0 $

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x-6)(x-1)$:$ \frac{2(x-3)(x-1) - 1 \cdot x(x-6)}{x(x-6)(x-1)} \le 0 $

Раскроем скобки и упростим числитель:$ 2(x^2 - x - 3x + 3) - (x^2 - 6x) = 2(x^2 - 4x + 3) - x^2 + 6x = 2x^2 - 8x + 6 - x^2 + 6x = x^2 - 2x + 6 $.

Неравенство принимает вид:$ \frac{x^2 - 2x + 6}{x(x-6)(x-1)} \le 0 $

Рассмотрим числитель $x^2 - 2x + 6$. Найдем его дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 - 24 = -20$. Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), а старший коэффициент ($a=1$) положительный, то квадратный трехчлен $x^2 - 2x + 6$ всегда принимает положительные значения при любом $x$.

Так как числитель всегда положителен, знак дроби зависит только от знака знаменателя. Также, поскольку числитель никогда не равен нулю, то и вся дробь не может быть равна нулю. Таким образом, неравенство $ \le 0 $ равносильно строгому неравенству $ < 0 $ для знаменателя:$ x(x-1)(x-6) < 0 $

Решим это неравенство методом интервалов. Корни знаменателя: $x_1=0$, $x_2=1$, $x_3=6$. Они разбивают числовую ось на четыре интервала. Определим знак выражения $x(x-1)(x-6)$ в каждом интервале. На интервале $(-\infty; 0)$ выражение отрицательно (например, при $x=-1$). На интервале $(0; 1)$ — положительно. На интервале $(1; 6)$ — отрицательно. На интервале $(6; +\infty)$ — положительно. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; 0) \cup (1; 6)$.

Теперь найдем наибольшее целое решение, как требуется в задаче. В интервале $(-\infty; 0)$ наибольшее целое число — это $-1$. В интервале $(1; 6)$ целые числа — это $2, 3, 4, 5$. Наибольшее из них — $5$. Сравнивая $-1$ и $5$, выбираем наибольшее. Наибольшее целое решение неравенства — это $5$.

Ответ: 5