Номер 38.10, страница 192 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

38.10. Найдите число целых решений неравенства $(x+1)(3-x)(x-2)^2 \le 0$, принадлежащих промежутку $[-1; 6]$.

Для решения задачи необходимо сначала решить неравенство $(x+1)(3-x)(x-2)^2 \le 0$, а затем из найденного множества решений выбрать все целые числа, принадлежащие промежутку $[-1; 6]$, и подсчитать их количество.

Шаг 1: Решение неравенства

Решим неравенство $(x+1)(3-x)(x-2)^2 \le 0$ методом интервалов.
Найдем корни левой части, приравняв ее к нулю:
$(x+1)(3-x)(x-2)^2 = 0$
Корнями уравнения являются: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$, $x_3 = 2$.

Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство нестрогое ($\le$), все корни являются решениями и на оси отмечаются закрашенными точками.
Корень $x=2$ имеет четную кратность (показатель степени равен 2), поэтому при переходе через эту точку знак выражения меняться не будет.
Корни $x=-1$ и $x=3$ имеют нечетную кратность (показатель степени равен 1), поэтому при переходе через них знак будет меняться.

Определим знаки выражения $f(x) = (x+1)(3-x)(x-2)^2$ на полученных интервалах.
Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например, $x=10$:
$f(10) = (10+1)(3-10)(10-2)^2 = 11 \cdot (-7) \cdot 8^2 < 0$.
Значит, на интервале $(3; +\infty)$ выражение отрицательно.
Двигаясь справа налево по числовой оси, расставим знаки:
- Интервал $(3; +\infty)$: знак "минус".
- Переходим через $x=3$ (нечетная кратность), знак меняется: интервал $(2; 3)$ имеет знак "плюс".
- Переходим через $x=2$ (четная кратность), знак не меняется: интервал $(-1; 2)$ имеет знак "плюс".
- Переходим через $x=-1$ (нечетная кратность), знак меняется: интервал $(-\infty; -1)$ имеет знак "минус".

Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю ($f(x) \le 0$). Это интервалы со знаком "минус" и сами корни.
Решением неравенства является объединение множеств: $x \in (-\infty; -1] \cup \{2\} \cup [3; +\infty)$.

Шаг 2: Выбор целых решений из промежутка $[-1; 6]$

Теперь из множества решений $x \in (-\infty; -1] \cup \{2\} \cup [3; +\infty)$ нужно выбрать все целые числа, которые принадлежат отрезку $[-1; 6]$.
Целые числа из отрезка $[-1; 6]$: $-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$.

Проверим каждое из этих чисел:
- $x=-1$ является решением, так как входит в промежуток $(-\infty; -1]$.
- $x=0$ не является решением.
- $x=1$ не является решением.
- $x=2$ является решением, так как это изолированная точка.
- $x=3$ является решением, так как входит в промежуток $[3; +\infty)$.
- $x=4$ является решением, так как входит в промежуток $[3; +\infty)$.
- $x=5$ является решением, так как входит в промежуток $[3; +\infty)$.
- $x=6$ является решением, так как входит в промежуток $[3; +\infty)$.

Итак, целые решения неравенства, принадлежащие промежутку $[-1; 6]$, это: $-1, 2, 3, 4, 5, 6$.

Шаг 3: Подсчет количества решений

Посчитаем количество найденных целых решений: их 6.

Ответ: 6