Номер 36.47, страница 184 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

36.47*. При каком значении a уравнение имеет один корень:

а) $ \frac{x^2+12x+35}{x-a}=0; $

б) $ \frac{x^2-12x-64}{x-a}=0? $

а)

Дробно-рациональное уравнение равно нулю тогда и только тогда, когда его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x^2 + 12x + 35 = 0, \\ x - a \neq 0. \end{cases}$

Сначала решим квадратное уравнение из первой строки системы: $x^2 + 12x + 35 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 35 = 144 - 140 = 4$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-12 - \sqrt{4}}{2} = \frac{-12 - 2}{2} = -7$

$x_2 = \frac{-12 + \sqrt{4}}{2} = \frac{-12 + 2}{2} = -5$

Таким образом, числитель дроби обращается в ноль при $x = -7$ и $x = -5$.

Второе условие системы, $x - a \neq 0$, означает, что $x \neq a$.

Исходное уравнение будет иметь ровно один корень, если один из корней числителя ($x_1$ или $x_2$) совпадет со значением $a$. В этом случае этот корень будет исключен, так как знаменатель обратится в ноль, а второй корень станет единственным решением уравнения.

Рассмотрим два случая:

1. Если $a = -7$. Тогда корень $x = -7$ не удовлетворяет условию $x \neq a$. Единственным решением уравнения остается $x = -5$.

2. Если $a = -5$. Тогда корень $x = -5$ не удовлетворяет условию $x \neq a$. Единственным решением уравнения остается $x = -7$.

Следовательно, уравнение имеет один корень при $a = -7$ или $a = -5$.

Ответ: при $a = -7$ или $a = -5$.

б)

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 12x - 64 = 0, \\ x - a \neq 0. \end{cases}$

Решим квадратное уравнение из первой строки: $x^2 - 12x - 64 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 144 + 256 = 400$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{12 - \sqrt{400}}{2} = \frac{12 - 20}{2} = -4$

$x_2 = \frac{12 + \sqrt{400}}{2} = \frac{12 + 20}{2} = 16$

Корни числителя равны -4 и 16.

Условие $x \neq a$ означает, что корень уравнения не может быть равен $a$.

Чтобы исходное уравнение имело ровно один корень, один из корней числителя должен быть исключен. Это произойдет, если значение $a$ совпадет с одним из этих корней.

Рассмотрим два случая:

1. Если $a = -4$. Корень $x = -4$ становится посторонним, и у уравнения остается единственный корень $x = 16$.

2. Если $a = 16$. Корень $x = 16$ становится посторонним, и у уравнения остается единственный корень $x = -4$.

Следовательно, уравнение имеет один корень при $a = -4$ или $a = 16$.

Ответ: при $a = -4$ или $a = 16$.