Номер 36.17, страница 180 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

36.17. Найдите нули функции $f(x) = \frac{2}{x-3} - \frac{3(x+1)}{x^2-1} - 1.$

Чтобы найти нули функции $f(x)$, необходимо решить уравнение $f(x) = 0$.

$f(x) = \frac{2}{x-3} - \frac{3(x+1)}{x^2-1} - 1 = 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$. Знаменатели дробей в выражении не могут равняться нулю.
1) $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$
2) $x^2-1 \neq 0 \implies (x-1)(x+1) \neq 0 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Следовательно, ОДЗ: $x \neq 3, x \neq 1, x \neq -1$.

Далее упростим уравнение. Знаменатель второй дроби $x^2-1$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$.
Учитывая ОДЗ ($x \neq -1$), мы можем сократить дробь:
$\frac{3(x+1)}{x^2-1} = \frac{3(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{3}{x-1}$.

Теперь исходное уравнение принимает более простой вид:
$\frac{2}{x-3} - \frac{3}{x-1} - 1 = 0$

Чтобы решить это уравнение, приведем все его члены к общему знаменателю $(x-3)(x-1)$:
$\frac{2(x-1)}{(x-3)(x-1)} - \frac{3(x-3)}{(x-3)(x-1)} - \frac{(x-3)(x-1)}{(x-3)(x-1)} = 0$

Теперь запишем все под одной дробной чертой:
$\frac{2(x-1) - 3(x-3) - (x-3)(x-1)}{(x-3)(x-1)} = 0$

Рациональное уравнение равно нулю тогда и только тогда, когда его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие неравенства знаменателя нулю мы уже учли в ОДЗ. Поэтому приравняем числитель к нулю:
$2(x-1) - 3(x-3) - (x-3)(x-1) = 0$
Раскроем скобки:
$(2x - 2) - (3x - 9) - (x^2 - x - 3x + 3) = 0$
$2x - 2 - 3x + 9 - (x^2 - 4x + 3) = 0$
$2x - 2 - 3x + 9 - x^2 + 4x - 3 = 0$

Приведем подобные слагаемые:
$-x^2 + (2x - 3x + 4x) + (-2 + 9 - 3) = 0$
$-x^2 + 3x + 4 = 0$
Для удобства решения умножим обе части уравнения на $-1$:
$x^2 - 3x - 4 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.
Здесь $a=1, b=-3, c=-4$.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня, которые вычисляются по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

На последнем шаге проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 3, x \neq 1, x \neq -1$).
- Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет всем условиям ОДЗ.
- Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $x$ не может быть равен $-1$. Следовательно, $x=-1$ является посторонним корнем.

Таким образом, у функции есть только один нуль.

Ответ: $4$.