Номер 35.16, страница 174 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

35.16. Найдите множество значений функции:

а) $f(x) = x^2 - 7$;

б) $f(x) = |x| + 9$;

в) $f(x) = \sqrt{x+6} - 8$;

г) $f(x) = -x^2 - 10x + 7$.

а) $f(x) = x^2 - 7$

Данная функция является квадратичной. График этой функции — парабола с ветвями, направленными вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1). Это означает, что функция имеет наименьшее значение, но не имеет наибольшего. Выражение $x^2$ принимает только неотрицательные значения, то есть $x^2 \ge 0$. Наименьшее значение $x^2$ равно 0, оно достигается при $x=0$. Следовательно, наименьшее значение всей функции $f(x)$ равно $0 - 7 = -7$. Таким образом, множество значений функции — это все числа от -7 включительно и до плюс бесконечности.

Ответ: $E(f) = [-7; +\infty)$

б) $f(x) = |x| + 9$

По определению, модуль числа $|x|$ всегда является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$. Наименьшее значение $|x|$ равно 0 и достигается при $x=0$. Соответственно, наименьшее значение функции $f(x)$ будет достигаться при наименьшем значении $|x|$ и равно $0 + 9 = 9$. Поскольку $|x|$ может принимать любое неотрицательное значение, то и функция $f(x)$ может принимать любое значение, начиная с 9.

Ответ: $E(f) = [9; +\infty)$

в) $f(x) = \sqrt{x+6} - 8$

Выражение, находящееся под знаком арифметического квадратного корня, должно быть неотрицательным. Отсюда находим область определения функции: $x+6 \ge 0 \implies x \ge -6$. Значение самого арифметического квадратного корня $\sqrt{x+6}$ также всегда неотрицательно, то есть $\sqrt{x+6} \ge 0$. Наименьшее значение корня равно 0 и достигается при $x=-6$. Следовательно, наименьшее значение всей функции $f(x)$ равно $\sqrt{-6+6} - 8 = 0 - 8 = -8$. При увеличении $x$ значение корня неограниченно возрастает, а значит и значение функции тоже.

Ответ: $E(f) = [-8; +\infty)$

г) $f(x) = -x^2 - 10x + 7$

Данная функция является квадратичной. График — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен (равен -1). Это означает, что функция имеет наибольшее значение в вершине параболы. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$. Абсцисса вершины находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$: $x_v = -\frac{-10}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-10}{-2} = -5$. Наибольшее значение функции равно ординате вершины $y_v = f(x_v)$: $y_v = f(-5) = -(-5)^2 - 10(-5) + 7 = -25 + 50 + 7 = 32$. Так как ветви параболы направлены вниз, все значения функции не превосходят 32.

Ответ: $E(f) = (-\infty; 32]$