Номер 35.13, страница 173 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

35.13. Найдите область определения функции:

а) $f(x) = \frac{5}{x^2 - 6x + 8}$;

б) $f(x) = \frac{2}{x - 1} + \frac{5 - x}{3x^2 + 7x + 4}$;

в) $f(x) = \frac{8x - 1}{x^4 - 7x^2 + 6}$.

а) $f(x) = \frac{5}{x^2 - 6x + 8}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Для данной функции, которая представляет собой дробь, знаменатель не должен быть равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль. Для этого решим квадратное уравнение:

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Для решения можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна $6$, а их произведение равно $8$. Отсюда корни:

$x_1 = 2$

$x_2 = 4$

Таким образом, при $x = 2$ и $x = 4$ знаменатель дроби равен нулю. Эти значения необходимо исключить из области определения.

Ответ: Областью определения функции является множество всех действительных чисел, кроме $2$ и $4$. В виде интервалов это записывается как $D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; 4) \cup (4; +\infty)$.

б) $f(x) = \frac{2}{x - 1} + \frac{5 - x}{3x^2 + 7x + 4}$

Область определения данной функции — это множество всех значений $x$, при которых оба знаменателя одновременно не равны нулю.

1. Найдем, когда первый знаменатель равен нулю:

$x - 1 = 0 \implies x = 1$

Значит, $x \neq 1$.

2. Найдем, когда второй знаменатель равен нулю. Решим квадратное уравнение:

$3x^2 + 7x + 4 = 0$

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 \pm 1}{6}$

$x_1 = \frac{-7 - 1}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

$x_2 = \frac{-7 + 1}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

Значит, $x \neq -1$ и $x \neq -\frac{4}{3}$.

Объединяя все условия, получаем, что из области определения нужно исключить значения $x = 1$, $x = -1$ и $x = -\frac{4}{3}$.

Ответ: Областью определения функции является множество всех действительных чисел, кроме $-1$, $-\frac{4}{3}$ и $1$. В виде интервалов это записывается как $D(f) = (-\infty; -\frac{4}{3}) \cup (-\frac{4}{3}; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

в) $f(x) = \frac{8x - 1}{x^4 - 7x^2 + 6}$

Область определения функции определяется условием, что знаменатель не равен нулю.

$x^4 - 7x^2 + 6 \neq 0$

Решим биквадратное уравнение $x^4 - 7x^2 + 6 = 0$. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$, при этом $t \ge 0$.

$t^2 - 7t + 6 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $7$, а произведение равно $6$. Корни уравнения:

$t_1 = 1$

$t_2 = 6$

Оба корня неотрицательны, поэтому оба подходят. Вернемся к исходной переменной $x$:

1. $x^2 = t_1 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.

2. $x^2 = t_2 \implies x^2 = 6 \implies x = \pm \sqrt{6}$.

Следовательно, знаменатель обращается в ноль при $x = 1$, $x = -1$, $x = \sqrt{6}$ и $x = -\sqrt{6}$. Эти значения нужно исключить из области определения.

Ответ: Областью определения функции является множество всех действительных чисел, кроме $-1$, $1$, $-\sqrt{6}$ и $\sqrt{6}$. В виде интервалов это записывается как $D(f) = (-\infty; -\sqrt{6}) \cup (-\sqrt{6}; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}; +\infty)$.