Номер 33.50, страница 164 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.50*. Выполните действия:

$\frac{36x^{5m+2}t^{7p-1}}{z^{7n+2}y^{2k+4}} \cdot \frac{y^{2k+2}z^{5n}}{x^{6m+2}t^{8p}} : \frac{27x^{2m-4}y}{z^{n}t^{p-1}}.$

33.50*.

Для выполнения действий с дробями, сначала заменим операцию деления на умножение на обратную дробь (перевернем делитель).

Исходное выражение:

$$ \frac{36x^{5m+2}t^{7p-1}}{z^{7n+2}y^{2k+4}} \cdot \frac{y^{2k+2}z^{5n}}{x^{6m+2}t^{8p}} : \frac{27x^{2m-4}y}{z^n t^{p-1}} $$

Заменяем деление на умножение:

$$ \frac{36x^{5m+2}t^{7p-1}}{z^{7n+2}y^{2k+4}} \cdot \frac{y^{2k+2}z^{5n}}{x^{6m+2}t^{8p}} \cdot \frac{z^n t^{p-1}}{27x^{2m-4}y} $$

Теперь объединим все дроби в одну, перемножив их числители и знаменатели:

$$ \frac{36 \cdot x^{5m+2} \cdot t^{7p-1} \cdot y^{2k+2} \cdot z^{5n} \cdot z^n \cdot t^{p-1}}{z^{7n+2} \cdot y^{2k+4} \cdot x^{6m+2} \cdot t^{8p} \cdot 27 \cdot x^{2m-4} \cdot y} $$

Сгруппируем и упростим множители с одинаковыми основаниями в числителе и знаменателе, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

В числителе:

- Для $z$: $z^{5n} \cdot z^n = z^{5n+n} = z^{6n}$

- Для $t$: $t^{7p-1} \cdot t^{p-1} = t^{(7p-1) + (p-1)} = t^{8p-2}$

Числитель становится: $36x^{5m+2}y^{2k+2}z^{6n}t^{8p-2}$

В знаменателе:

- Для $x$: $x^{6m+2} \cdot x^{2m-4} = x^{(6m+2) + (2m-4)} = x^{8m-2}$

- Для $y$: $y^{2k+4} \cdot y^1 = y^{(2k+4) + 1} = y^{2k+5}$

Знаменатель становится: $27x^{8m-2}y^{2k+5}z^{7n+2}t^{8p}$

Теперь дробь имеет вид:

$$ \frac{36x^{5m+2}y^{2k+2}z^{6n}t^{8p-2}}{27x^{8m-2}y^{2k+5}z^{7n+2}t^{8p}} $$

Сократим дробь, применяя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ для каждого основания.

- Коэффициенты: $\frac{36}{27} = \frac{4 \cdot 9}{3 \cdot 9} = \frac{4}{3}$

- Переменная $x$: $\frac{x^{5m+2}}{x^{8m-2}} = x^{(5m+2) - (8m-2)} = x^{5m+2-8m+2} = x^{4-3m}$

- Переменная $y$: $\frac{y^{2k+2}}{y^{2k+5}} = y^{(2k+2) - (2k+5)} = y^{2k+2-2k-5} = y^{-3}$

- Переменная $z$: $\frac{z^{6n}}{z^{7n+2}} = z^{6n - (7n+2)} = z^{6n-7n-2} = z^{-n-2}$

- Переменная $t$: $\frac{t^{8p-2}}{t^{8p}} = t^{(8p-2) - 8p} = t^{-2}$

Соберем все части вместе:

$$ \frac{4}{3} \cdot x^{4-3m} \cdot y^{-3} \cdot z^{-n-2} \cdot t^{-2} $$

Используя правило $a^{-k} = \frac{1}{a^k}$, запишем выражение с положительными показателями степеней в знаменателе:

$$ \frac{4x^{4-3m}}{3y^3 z^{n+2} t^2} $$

Ответ: $ \frac{4x^{4-3m}}{3y^3z^{n+2}t^2} $