Номер 33.43, страница 163 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.43. Выполните умножение дробей:

а) $\frac{a^2b}{5c} \cdot \frac{15c^2}{3a^2b^2}$;

б) $\frac{(3a+c)^2}{4(3a-b)} \cdot \frac{2(9a^2-b^2)}{9a^2-c^2}$;

в) $\left(\frac{ab}{2b+c}\right)^2 \cdot \frac{c(2b+c)}{a^2b^2}$.

а) Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели соответственно. $ \frac{a^2b}{5c} \cdot \frac{15c^2}{3a^2b^2} = \frac{a^2b \cdot 15c^2}{5c \cdot 3a^2b^2} $
Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные: $ \frac{15 \cdot a^2 \cdot b \cdot c^2}{5 \cdot 3 \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot c} = \frac{15 \cdot a^2 \cdot b \cdot c^2}{15 \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot c} $
Теперь выполним сокращение дроби. Сократим численный коэффициент 15, переменные $a^2$, $b$ и $c$.
$ \frac{\cancel{15} \cdot \cancel{a^2} \cdot b \cdot c^2}{\cancel{15} \cdot \cancel{a^2} \cdot b^2 \cdot c} = \frac{b \cdot c^2}{b^2 \cdot c} $
Используя свойства степеней ($ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $): $ \frac{c^{2-1}}{b^{2-1}} = \frac{c}{b} $
Ответ: $ \frac{c}{b} $

б) Для выполнения умножения $ \frac{(3a+c)^2}{4(3a-b)} \cdot \frac{2(9a^2-b^2)}{9a^2-c^2} $ сперва разложим на множители выражения в числителе и знаменателе, где это возможно. Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
$ 9a^2 - b^2 = (3a)^2 - b^2 = (3a-b)(3a+b) $
$ 9a^2 - c^2 = (3a)^2 - c^2 = (3a-c)(3a+c) $
Подставим разложенные многочлены в исходное выражение: $ \frac{(3a+c)^2}{4(3a-b)} \cdot \frac{2(3a-b)(3a+b)}{(3a-c)(3a+c)} $
Перемножим числители и знаменатели и запишем все под одной дробной чертой: $ \frac{2 \cdot (3a+c)^2 \cdot (3a-b) \cdot (3a+b)}{4 \cdot (3a-b) \cdot (3a-c) \cdot (3a+c)} $
Сократим общие множители:
- Сокращаем числовые коэффициенты 2 и 4, в знаменателе остается 2.
- Сокращаем множитель $ (3a-b) $.
- Сокращаем множитель $ (3a+c) $. В числителе $ (3a+c)^2 $, в знаменателе $ (3a+c) $, поэтому в числителе останется $ (3a+c) $.
$ \frac{\cancel{2} \cdot (3a+c)^{\cancel{2}} \cdot \cancel{(3a-b)} \cdot (3a+b)}{\cancel{4}_2 \cdot \cancel{(3a-b)} \cdot (3a-c) \cdot \cancel{(3a+c)}} = \frac{(3a+c)(3a+b)}{2(3a-c)} $
Ответ: $ \frac{(3a+c)(3a+b)}{2(3a-c)} $

в) Рассмотрим выражение $ (\frac{ab}{2b+c})^2 \cdot \frac{c(2b+c)}{a^2b^2} $.
Сначала возведем первую дробь в квадрат, используя свойство $ (\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n} $: $ (\frac{ab}{2b+c})^2 = \frac{(ab)^2}{(2b+c)^2} = \frac{a^2b^2}{(2b+c)^2} $
Теперь умножим полученную дробь на вторую: $ \frac{a^2b^2}{(2b+c)^2} \cdot \frac{c(2b+c)}{a^2b^2} = \frac{a^2b^2 \cdot c(2b+c)}{(2b+c)^2 \cdot a^2b^2} $
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:
- Сокращаем $ a^2b^2 $.
- Сокращаем $ (2b+c) $. В числителе он в первой степени, а в знаменателе во второй, значит в знаменателе останется $ (2b+c) $.
$ \frac{\cancel{a^2b^2} \cdot c \cdot \cancel{(2b+c)}}{(2b+c)^{\cancel{2}} \cdot \cancel{a^2b^2}} = \frac{c}{2b+c} $
Ответ: $ \frac{c}{2b+c} $