Номер 7, страница 115 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

а) Дана система уравнений:

Для упрощения решения введем новые переменные. Пусть $u = \frac{1}{x+2y}$ и $v = \frac{1}{y}$. С учетом этих замен система примет следующий вид:

Мы получили систему линейных уравнений относительно $u$ и $v$. Решим ее методом алгебраического сложения. Для этого умножим второе уравнение на 4, чтобы коэффициенты при переменной $v$ стали противоположными по знаку:

Теперь сложим два уравнения системы:

Подставим найденное значение $u = \frac{1}{5}$ в уравнение $10u - 2v = 1$ для нахождения $v$:

Теперь, когда мы нашли значения $u$ и $v$, вернемся к исходным переменным $x$ и $y$, выполнив обратную замену:

Из этих равенств получаем новую, более простую систему уравнений:

Подставим значение $y=2$ в первое уравнение:

Решением системы является пара чисел $(1; 2)$.

Ответ: (1; 2)

б) Дана система уравнений:

Как и в предыдущем случае, воспользуемся методом введения новых переменных. Пусть $a = \frac{1}{2x-y}$ и $b = \frac{1}{x+3y}$. Тогда система уравнений преобразуется в линейную систему относительно $a$ и $b$:

Решим эту систему методом сложения. Для этого необходимо уравнять модули коэффициентов при одной из переменных. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при $b$ стали $96$ и $-96$:

Сложим полученные уравнения:

Подставим найденное значение $a = \frac{1}{9}$ в уравнение $27a + 32b = 7$, чтобы найти $b$:

Выполним обратную замену, чтобы вернуться к переменным $x$ и $y$:

Из этого следует система линейных уравнений:

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:

Подставим это выражение во второе уравнение:

Теперь найдем соответствующее значение $y$:

Решением системы является пара чисел $(5; 1)$.

Ответ: (5; 1)