Номер 31.10, страница 158 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

31.10. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 0, 6, 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза? Сколько из них четных?

Сколько всего двузначных чисел можно составить:
Для составления двузначного числа необходимо выбрать две разные цифры из набора {0, 6, 7} и расположить их на местах десятков и единиц.
1. Выбор первой цифры (разряд десятков): Первая цифра двузначного числа не может быть 0. Следовательно, для первой позиции у нас есть 2 варианта: 6 или 7.
2. Выбор второй цифры (разряд единиц): Согласно условию, цифры в числе не должны повторяться. После выбора первой цифры для второй позиции остаются две неиспользованные цифры. Например, если первая цифра — 6, то для второй остаются {0, 7}. Если первая — 7, то остаются {0, 6}. В любом случае, для второй позиции есть 2 варианта.
Чтобы найти общее количество чисел, используем комбинаторное правило умножения (произведения):
$2 \times 2 = 4$.
Таким образом, можно составить 4 различных двузначных числа. Это числа: 60, 67, 70, 76.
Ответ: 4.

Сколько из них четных?:
Четное число — это число, которое оканчивается на четную цифру. В нашем наборе {0, 6, 7} четными цифрами являются 0 и 6. Рассмотрим все возможные случаи.
Случай 1: Число оканчивается на 0.
Если последняя цифра 0, то на место первой цифры можно поставить любую из оставшихся — 6 или 7. Оба варианта подходят, так как они не равны нулю. Таким образом, мы получаем 2 четных числа: 60 и 70.
Случай 2: Число оканчивается на 6.
Если последняя цифра 6, на место первой цифры можно поставить одну из оставшихся — 0 или 7. Но 0 не может быть первой цифрой двузначного числа, поэтому остается только один вариант — 7. Таким образом, мы получаем 1 четное число: 76.
Общее количество четных чисел равно сумме чисел, полученных в этих двух случаях:
$2 + 1 = 3$.
Ответ: 3.