Номер 14.5, страница 79 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.5. Вычислите:

а) $ \sin\left(\pi - \arcsin\frac{2}{7}\right); $

б) $ \operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + \operatorname{arctg}(-5)\right); $

в) $ \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \operatorname{arcctg}9\right) + \cos(\pi - \arccos(-0,9)). $

а) Для вычисления значения выражения $sin(\pi - \arcsin\frac{2}{7})$ воспользуемся формулой приведения для синуса: $sin(\pi - \alpha) = sin(\alpha)$.
В данном случае аргумент $\alpha = \arcsin\frac{2}{7}$.
Подставив это значение в формулу, получаем:
$sin(\pi - \arcsin\frac{2}{7}) = sin(\arcsin\frac{2}{7})$.
Согласно определению арксинуса, $sin(\arcsin x) = x$ для любого $x$ из отрезка $[-1, 1]$. Так как значение $\frac{2}{7}$ принадлежит этому отрезку, то:
$sin(\arcsin\frac{2}{7}) = \frac{2}{7}$.
Ответ: $\frac{2}{7}$.

б) Для вычисления выражения $ctg(\frac{3\pi}{2} + arctg(-5))$ применим формулу приведения для котангенса: $ctg(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -tg(\alpha)$.
В нашем случае $\alpha = arctg(-5)$.
Тогда выражение принимает вид:
$ctg(\frac{3\pi}{2} + arctg(-5)) = -tg(arctg(-5))$.
По определению арктангенса, $tg(arctg x) = x$ для любого действительного числа $x$. Следовательно:
$-tg(arctg(-5)) = -(-5) = 5$.
Ответ: 5.

в) Данное выражение представляет собой сумму двух слагаемых: $tg(\frac{3\pi}{2} - arcctg\,9)$ и $cos(\pi - arccos(-0,9))$. Вычислим каждое слагаемое по отдельности.
1. Для первого слагаемого $tg(\frac{3\pi}{2} - arcctg\,9)$ используем формулу приведения для тангенса: $tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = ctg(\alpha)$.
При $\alpha = arcctg\,9$ получаем:
$tg(\frac{3\pi}{2} - arcctg\,9) = ctg(arcctg\,9)$.
По определению арккотангенса, $ctg(arcctg\,x) = x$ для любого действительного $x$. Таким образом, значение первого слагаемого равно $9$.
2. Для второго слагаемого $cos(\pi - arccos(-0,9))$ используем формулу приведения для косинуса: $cos(\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$.
При $\alpha = arccos(-0,9)$ получаем:
$cos(\pi - arccos(-0,9)) = -cos(arccos(-0,9))$.
По определению арккосинуса, $cos(arccos x) = x$ для любого $x$ из отрезка $[-1, 1]$. Так как значение $-0,9$ принадлежит этому отрезку, то второе слагаемое равно $-(-0,9) = 0,9$.
3. Сложим полученные значения:
$9 + 0,9 = 9,9$.
Ответ: 9,9.