Номер 14.1, страница 79 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.1. Вычислите значение выражения:

a) $\frac{3\cos196^\circ + 12\cos164^\circ}{\cos16^\circ}$;

б) $\frac{2\cos201^\circ - 16\sin111^\circ}{\cos21^\circ}$.

а) Для вычисления значения выражения $\frac{3\cos196^\circ + 12\cos164^\circ}{\cos16^\circ}$ воспользуемся формулами приведения, чтобы привести тригонометрические функции к углу $16^\circ$.
Представим угол $196^\circ$ как $180^\circ + 16^\circ$. По формуле приведения $\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем:
$\cos(196^\circ) = \cos(180^\circ + 16^\circ) = -\cos(16^\circ)$.
Представим угол $164^\circ$ как $180^\circ - 16^\circ$. По формуле приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем:
$\cos(164^\circ) = \cos(180^\circ - 16^\circ) = -\cos(16^\circ)$.
Теперь подставим полученные выражения в исходную дробь:
$\frac{3\cos196^\circ + 12\cos164^\circ}{\cos16^\circ} = \frac{3(-\cos16^\circ) + 12(-\cos16^\circ)}{\cos16^\circ} = \frac{-3\cos16^\circ - 12\cos16^\circ}{\cos16^\circ}$.
Сложим слагаемые в числителе:
$\frac{(-3 - 12)\cos16^\circ}{\cos16^\circ} = \frac{-15\cos16^\circ}{\cos16^\circ}$.
Сократим дробь на $\cos16^\circ$ (так как $\cos16^\circ \neq 0$):
$-15$.
Ответ: -15.

б) Для вычисления значения выражения $\frac{2\cos201^\circ - 16\sin111^\circ}{\cos21^\circ}$ воспользуемся формулами приведения, чтобы привести тригонометрические функции к углу $21^\circ$.
Представим угол $201^\circ$ как $180^\circ + 21^\circ$. По формуле приведения $\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем:
$\cos(201^\circ) = \cos(180^\circ + 21^\circ) = -\cos(21^\circ)$.
Представим угол $111^\circ$ как $90^\circ + 21^\circ$. По формуле приведения $\sin(90^\circ + \alpha) = \cos(\alpha)$, получаем:
$\sin(111^\circ) = \sin(90^\circ + 21^\circ) = \cos(21^\circ)$.
Теперь подставим полученные выражения в исходную дробь:
$\frac{2\cos201^\circ - 16\sin111^\circ}{\cos21^\circ} = \frac{2(-\cos21^\circ) - 16(\cos21^\circ)}{\cos21^\circ} = \frac{-2\cos21^\circ - 16\cos21^\circ}{\cos21^\circ}$.
Выполним вычитание в числителе:
$\frac{(-2 - 16)\cos21^\circ}{\cos21^\circ} = \frac{-18\cos21^\circ}{\cos21^\circ}$.
Сократим дробь на $\cos21^\circ$ (так как $\cos21^\circ \neq 0$):
$-18$.
Ответ: -18.