Номер 651, страница 132 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса однородного стержня: $m$
Угол наклона стержня к горизонту: $\alpha$

Найти:

Модуль силы натяжения троса $T$ и модуль силы реакции шарнира $R$.

Решение:

На стержень в состоянии статического равновесия действуют три силы:

1. Сила тяжести $\vec{P} = m\vec{g}$, приложенная к центру масс стержня (его середине, так как стержень однородный) и направленная вертикально вниз.

2. Сила натяжения троса $\vec{T}$, приложенная к верхнему концу стержня и направленная горизонтально.

3. Сила реакции шарнира $\vec{R}$, приложенная к нижнему концу стержня.

Для того чтобы тело находилось в равновесии, необходимо выполнение двух условий:

1. Векторная сумма всех действующих на тело сил должна быть равна нулю: $\sum \vec{F_i} = \vec{0}$.

2. Сумма моментов всех сил относительно любой точки должна быть равна нулю: $\sum M_i = 0$.

Для нахождения силы натяжения троса $T$ удобно использовать правило моментов относительно точки крепления стержня в шарнире (обозначим ее O). В этом случае момент силы реакции шарнира $\vec{R}$ равен нулю, так как ее плечо равно нулю.

Пусть длина стержня равна $L$. Момент силы тяжести $M_P$ стремится повернуть стержень по часовой стрелке. Плечо силы тяжести равно $d_P = \frac{L}{2}\cos\alpha$.

$M_P = mg \cdot d_P = mg \frac{L}{2}\cos\alpha$

Момент силы натяжения троса $M_T$ стремится повернуть стержень против часовой стрелки. Плечо силы натяжения равно $d_T = L\sin\alpha$.

$M_T = T \cdot d_T = T L\sin\alpha$

Согласно правилу моментов, $M_T = M_P$:

$T L\sin\alpha = mg \frac{L}{2}\cos\alpha$

Сократив на $L$, получим:

$T\sin\alpha = \frac{mg}{2}\cos\alpha$

Отсюда находим модуль силы натяжения троса:

$T = \frac{mg\cos\alpha}{2\sin\alpha} = \frac{mg}{2\tan\alpha}$

Для нахождения силы реакции шарнира $\vec{R}$ воспользуемся первым условием равновесия. Разложим силу $\vec{R}$ на горизонтальную ($R_x$) и вертикальную ($R_y$) составляющие. Запишем уравнения равновесия сил в проекциях на оси координат (ось Ox — горизонтальная, ось Oy — вертикальная):

На ось Ox: $R_x - T = 0 \implies R_x = T = \frac{mg}{2\tan\alpha}$

На ось Oy: $R_y - mg = 0 \implies R_y = mg$

Модуль силы реакции шарнира $R$ найдем по теореме Пифагора:

$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{\left(\frac{mg}{2\tan\alpha}\right)^2 + (mg)^2}$

$R = \sqrt{\frac{m^2g^2}{4\tan^2\alpha} + m^2g^2} = mg\sqrt{\frac{1}{4\tan^2\alpha} + 1}$

Ответ:

Модуль силы натяжения троса равен $T = \frac{mg}{2\tan\alpha}$.
Модуль силы реакции шарнира равен $R = mg\sqrt{1 + \frac{1}{4\tan^2\alpha}}$.