Номер 233, страница 55 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$s_0 = 15 \text{ м}$

$a = 0,5 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

$v = 4 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

$t_{min}$ - минимальное время, через которое пассажир достигнет двери вагона.

Решение:

Выберем систему отсчета, связанную с землей. Начало координат ($x=0$) поместим в точку, где находился пассажир в начальный момент времени ($t=0$). Ось $Ox$ направим в сторону движения поезда.

Пассажир движется с постоянной скоростью $v$. Его координата в любой момент времени $t$ описывается уравнением:

$x_п(t) = v \cdot t$

Поезд трогается с места, значит, его начальная скорость равна нулю. Он движется с постоянным ускорением $a$. В начальный момент времени дверь вагона находилась на расстоянии $s_0$ от пассажира, то есть ее начальная координата $x_{дв,0} = s_0$. Координата двери вагона в любой момент времени $t$ описывается уравнением равноускоренного движения:

$x_{дв}(t) = s_0 + v_{0,дв} \cdot t + \frac{a \cdot t^2}{2}$

Так как начальная скорость поезда $v_{0,дв} = 0$, уравнение упрощается:

$x_{дв}(t) = s_0 + \frac{a \cdot t^2}{2}$

Пассажир достигнет двери вагона в тот момент времени $t$, когда их координаты совпадут, то есть $x_п(t) = x_{дв}(t)$.

$v \cdot t = s_0 + \frac{a \cdot t^2}{2}$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $t$:

$\frac{a}{2}t^2 - v \cdot t + s_0 = 0$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\frac{0,5}{2}t^2 - 4t + 15 = 0$

$0,25t^2 - 4t + 15 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 0,25 \cdot 15 = 16 - 1 \cdot 15 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 0,25} = \frac{4 \pm 1}{0,5}$

Вычислим оба корня:

$t_1 = \frac{4 - 1}{0,5} = \frac{3}{0,5} = 6 \text{ с}$

$t_2 = \frac{4 + 1}{0,5} = \frac{5}{0,5} = 10 \text{ с}$

Мы получили два момента времени, когда пассажир и дверь вагона находятся в одной точке. Первый раз ($t_1 = 6$ с) пассажир догоняет дверь. Второй раз ($t_2 = 10$ с) поезд, продолжая ускоряться, догоняет пассажира, который пробежал мимо двери. По условию задачи требуется найти минимальное время, за которое пассажир достигнет двери. Следовательно, искомое время — это наименьший из полученных корней.

$t_{min} = t_1 = 6 \text{ с}$

Ответ: Минимальное время, через которое пассажир достигнет двери вагона, равно $6$ с.