Номер 1024, страница 195 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса первой тележки: $m_1$

Начальная скорость первой тележки: $v_1$

Масса второй тележки: $m_2 = \frac{m_1}{4}$

Начальная скорость второй тележки: $v_2 = 0$ (неподвижна)

Столкновение: центральное, упругое

Найти:

Отношение начальной скорости первой тележки к ее конечной скорости: $\frac{v_1}{u_1}$

Решение:

При упругом столкновении двух тел выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии. Поскольку столкновение центральное, движение будет происходить вдоль одной прямой. Направим ось координат по направлению начального движения первой тележки.

Запишем закон сохранения импульса для системы из двух тележек:

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 u_1 + m_2 u_2$

где $u_1$ и $u_2$ — скорости тележек после столкновения. Так как вторая тележка покоилась ($v_2 = 0$), уравнение принимает вид:

$m_1 v_1 = m_1 u_1 + m_2 u_2$ (1)

Запишем закон сохранения кинетической энергии:

$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 u_1^2}{2} + \frac{m_2 u_2^2}{2}$

С учетом $v_2 = 0$:

$m_1 v_1^2 = m_1 u_1^2 + m_2 u_2^2$ (2)

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $u_1$ и $u_2$. Решим ее для нахождения $u_1$. Для этого преобразуем уравнения:

Из (1): $m_1(v_1 - u_1) = m_2 u_2$

Из (2): $m_1(v_1^2 - u_1^2) = m_2 u_2^2 \implies m_1(v_1 - u_1)(v_1 + u_1) = m_2 u_2^2$

Разделим второе преобразованное уравнение на первое (возведя первое в квадрат, получим $(m_1(v_1-u_1))^2 = (m_2 u_2)^2$, и подставим $m_2 u_2^2$):

$m_1(v_1 - u_1)(v_1 + u_1) = \frac{(m_1(v_1 - u_1))^2}{m_2}$

Так как при столкновении скорость первой тележки изменяется ($v_1 \neq u_1$), мы можем сократить обе части на $m_1(v_1-u_1)$:

$v_1 + u_1 = \frac{m_1}{m_2}(v_1 - u_1)$

Выразим отсюда скорость $u_1$:

$m_2(v_1 + u_1) = m_1(v_1 - u_1)$

$m_2 v_1 + m_2 u_1 = m_1 v_1 - m_1 u_1$

$u_1(m_1 + m_2) = v_1(m_1 - m_2)$

$u_1 = v_1 \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}$

Теперь подставим в эту формулу соотношение масс из условия задачи: $m_2 = \frac{m_1}{4}$

$u_1 = v_1 \frac{m_1 - \frac{m_1}{4}}{m_1 + \frac{m_1}{4}} = v_1 \frac{\frac{3}{4}m_1}{\frac{5}{4}m_1}$

Сократив $m_1$ и $\frac{1}{4}$, получим:

$u_1 = v_1 \frac{3}{5}$

Скорость первой тележки после столкновения стала равна $\frac{3}{5}$ от ее начальной скорости. Чтобы найти, во сколько раз она уменьшилась, найдем отношение начальной скорости к конечной:

$\frac{v_1}{u_1} = \frac{v_1}{\frac{3}{5}v_1} = \frac{1}{\frac{3}{5}} = \frac{5}{3}$

Ответ: скорость движения тележки массой $m_1$ после столкновения уменьшится в $\frac{5}{3}$ раза (или примерно в 1,67 раза).