Номер 1010, страница 192 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

масса груза $m = 1,6$ кг
жесткость шнура $k = 250 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$
начальная скорость $v_0 = 1,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$
Все величины даны в системе СИ. Примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

Найти:

максимальную высоту подъема $h_{max}$

Решение:

В начальном состоянии груз подвешен на шнуре и находится в положении равновесия. Это означает, что сила тяжести, действующая на груз, уравновешена силой упругости растянутого шнура. Выберем это положение в качестве нулевого уровня для отсчета высоты и потенциальной энергии силы тяжести ($h=0$).

Из условия равновесия найдем начальное растяжение шнура $x_0$: $F_{тяж} = F_{упр}$ $m g = k x_0 \implies x_0 = \frac{m g}{k}$

В начальный момент времени, когда грузу сообщают скорость $v_0$, полная механическая энергия системы "груз-шнур-Земля" $E_1$ состоит из кинетической энергии груза и потенциальной энергии упруго-деформированного шнура: $E_1 = E_к + E_{п,упр} = \frac{m v_0^2}{2} + \frac{k x_0^2}{2}$

Когда груз поднимется на максимальную высоту $h_{max}$, его скорость станет равной нулю ($v=0$), следовательно, и кинетическая энергия будет равна нулю. Полная энергия системы $E_2$ в этот момент будет состоять из потенциальной энергии груза, поднятого на высоту $h_{max}$, и потенциальной энергии шнура. $E_2 = E_{п,тяж} + E'_{п,упр} = m g h_{max} + E'_{п,упр}$

По мере подъема груза растяжение шнура уменьшается. Если высота подъема $h_{max}$ окажется больше начального растяжения $x_0$, шнур перестанет быть растянутым (провиснет), и его потенциальная энергия упругой деформации станет равной нулю ($E'_{п,упр} = 0$), так как резиновый шнур не оказывает сопротивления сжатию.

Проверим, станет ли шнур нерастянутым. Это произойдет, если начальная кинетическая энергия будет достаточной, чтобы преодолеть не только силу тяжести, но и уменьшающуюся силу упругости на участке $x_0$. Энергетически это означает, что полная начальная энергия должна быть больше, чем потенциальная энергия силы тяжести на высоте $x_0$.

По закону сохранения механической энергии $E_1 = E_2$. Предположив, что в верхней точке шнур не растянут ($E'_{п,упр} = 0$), получим: $\frac{m v_0^2}{2} + \frac{k x_0^2}{2} = m g h_{max}$

Подставим в это уравнение выражение для $x_0 = \frac{mg}{k}$: $\frac{m v_0^2}{2} + \frac{k (\frac{mg}{k})^2}{2} = m g h_{max}$ $\frac{m v_0^2}{2} + \frac{m^2 g^2}{2k} = m g h_{max}$

Выразим отсюда искомую высоту $h_{max}$: $h_{max} = \frac{1}{mg} \left( \frac{m v_0^2}{2} + \frac{m^2 g^2}{2k} \right) = \frac{v_0^2}{2g} + \frac{mg}{2k}$

Теперь необходимо проверить справедливость нашего предположения, что $h_{max} > x_0$. Для этого сравним полученное выражение для $h_{max}$ с $x_0 = mg/k$: $\frac{v_0^2}{2g} + \frac{mg}{2k} > \frac{mg}{k}$ $\frac{v_0^2}{2g} > \frac{mg}{2k} \implies v_0^2 > \frac{m g^2}{k}$

Подставим числовые значения: $v_0^2 = (1,0)^2 = 1,0$ $\frac{m g^2}{k} = \frac{1,6 \cdot (9,8)^2}{250} = \frac{1,6 \cdot 96,04}{250} \approx 0,615$ Поскольку $1,0 > 0,615$, наше предположение верно, и можно использовать выведенную формулу.

Выполним расчеты для $h_{max}$: $h_{max} = \frac{(1,0 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{2 \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} + \frac{1,6 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}{2 \cdot 250 \frac{\text{Н}}{\text{м}}}$ $h_{max} = \frac{1,0}{19,6} \text{ м} + \frac{15,68}{500} \text{ м} \approx 0,05102 \text{ м} + 0,03136 \text{ м} \approx 0,08238 \text{ м}$

Округлим результат с учетом точности исходных данных (две значащие цифры): $h_{max} \approx 0,082$ м.

Ответ: максимальная высота, на которую поднимется груз, составляет приблизительно $0,082$ м или $8,2$ см.