Номер 5, страница 158 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

5. Найдите отношение $BC : AD$, если:

a) $S_1 = 4, S_2 = 25$;

б) $S_1 = 6, S_2 = 18$;

в) $S_1 = 8, S_2 = 16$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами площадей треугольников, образованных при пересечении диагоналей трапеции. В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и точкой пересечения диагоналей $O$, треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ подобны.

Доказательство подобия:

• $\angle BOC = \angle DOA$ (вертикальные углы).
• $\angle OBC = \angle ODA$ (накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$).

Следовательно, $\triangle BOC \sim \triangle DOA$ (по двум углам).

Отношение соответствующих сторон этих треугольников равно коэффициенту подобия $k$. Примем за коэффициент подобия отношение большего основания к меньшему:

$k = \frac{AD}{BC} = \frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO}$

Искомое отношение $\frac{BC}{AD}$ будет равно $\frac{1}{k}$.

a)

Согласно рисунку, $S_1$ — это площадь $\triangle BOC$, а $S_2$ — это площадь $\triangle AOD$. Дано: $S_1 = S_{\triangle BOC} = 4$, $S_2 = S_{\triangle AOD} = 25$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle BOC}} = (\frac{AD}{BC})^2 = k^2$

Подставим известные значения:

$k^2 = \frac{S_2}{S_1} = \frac{25}{4}$

Отсюда $k = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$.

Искомое отношение: $\frac{BC}{AD} = \frac{1}{k} = \frac{1}{5/2} = \frac{2}{5}$.

Ответ: 2:5.

б)

Согласно рисунку, $S_1 = S_{\triangle BOC} = 6$, а $S_2 = S_{\triangle AOD} = 18$.

Аналогично пункту а), находим квадрат коэффициента подобия:

$k^2 = \frac{S_2}{S_1} = \frac{18}{6} = 3$

Отсюда $k = \sqrt{3}$.

Искомое отношение: $\frac{BC}{AD} = \frac{1}{k} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Ответ: $1:\sqrt{3}$.

в)

Согласно рисунку для этого пункта, $S_1 = S_{\triangle BOC} = 8$, а $S_2 = S_{\triangle AOB} = 16$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$. У них есть общая высота, проведенная из вершины $B$ к диагонали $AC$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению длин оснований $AO$ и $CO$, на которые эта высота опускается:

$\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle BOC}} = \frac{AO}{CO}$

Как мы установили ранее, из подобия треугольников $\triangle DOA$ и $\triangle BOC$ следует, что коэффициент подобия $k = \frac{AD}{BC} = \frac{AO}{CO}$.

Следовательно, мы можем найти $k$ через отношение заданных площадей:

$k = \frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle BOC}} = \frac{16}{8} = 2$

Искомое отношение: $\frac{BC}{AD} = \frac{1}{k} = \frac{1}{2}$.

Ответ: 1:2.