Номер 2, страница 117 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

2. Найдите второй катет и площадь треугольника $ABC$.

a) В треугольнике $ABC$:

$AC^2 + CB^2 = AB^2$

$AC^2 + 8^2 = 10^2$

Площадь $S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times CB$

б) В треугольнике $ABC$:

$AC^2 + CB^2 = AB^2$

$5^2 + CB^2 = 13^2$

Площадь $S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times CB$

в) В треугольнике $ABC$:

$CM = \frac{1}{2} AB$

$17 = \frac{1}{2} AB$

$AC^2 + BC^2 = AB^2$

$AC^2 + 16^2 = (2 \times 17)^2$

Площадь $S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times BC$

а)

В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $C=90^\circ$) известны гипотенуза $AB=10$ и катет $BC=8$. Требуется найти второй катет $AC$ и площадь треугольника.

Для нахождения катета $AC$ используем теорему Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы ($AC^2 + BC^2 = AB^2$).

$AC^2 + 8^2 = 10^2$

$AC^2 + 64 = 100$

$AC^2 = 100 - 64$

$AC^2 = 36$

$AC = \sqrt{36} = 6$

Таким образом, длина второго катета $AC$ равна 6.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = \frac{48}{2} = 24$

Ответ: второй катет равен 6, площадь треугольника равна 24.

б)

В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $C=90^\circ$) известны катет $AC=5$ и гипотенуза $AB=13$. Требуется найти второй катет $BC$ и площадь треугольника.

По теореме Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$.

$5^2 + BC^2 = 13^2$

$25 + BC^2 = 169$

$BC^2 = 169 - 25$

$BC^2 = 144$

$BC = \sqrt{144} = 12$

Таким образом, длина второго катета $BC$ равна 12.

Находим площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = \frac{60}{2} = 30$

Ответ: второй катет равен 12, площадь треугольника равна 30.

в)

В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $C=90^\circ$) известен катет $BC=16$ и медиана $CM=17$, проведенная к гипотенузе $AB$. Требуется найти катет $AC$ и площадь треугольника.

Воспользуемся свойством медианы прямоугольного треугольника: медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. То есть, $CM = \frac{1}{2}AB$.

Отсюда найдем длину гипотенузы $AB$:

$AB = 2 \cdot CM = 2 \cdot 17 = 34$

Теперь, зная гипотенузу $AB=34$ и катет $BC=16$, найдем катет $AC$ по теореме Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$.

$AC^2 + 16^2 = 34^2$

$AC^2 + 256 = 1156$

$AC^2 = 1156 - 256$

$AC^2 = 900$

$AC = \sqrt{900} = 30$

Длина катета $AC$ равна 30.

Находим площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 16 = 15 \cdot 16 = 240$

Ответ: второй катет равен 30, площадь треугольника равна 240.