Номер 3, страница 156 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

3. Найдите угол B, если $AB = BC$, $AK = AC$.

а) $\angle AKC = 67^\circ$

б) $\angle AKC = 110^\circ$

в) $\angle KAC = 57^\circ$

а)

По условию, $AB = BC$, значит, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$.

Также по условию $AK = AC$, значит, треугольник $AKC$ является равнобедренным с основанием $KC$. В нем углы при основании равны: $\angle AKC = \angle ACK$.

Из рисунка видно, что $\angle ACK$ и $\angle BCA$ — это один и тот же угол. Нам дано, что $\angle AKC = 67^\circ$, следовательно, $\angle BCA = \angle AKC = 67^\circ$.

Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, то $\angle BAC = \angle BCA = 67^\circ$.

Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$. Найдем угол $B$:

$\angle B = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (67^\circ + 67^\circ) = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ$.

Ответ: $46^\circ$.

б)

В условии задачи для этого пункта, скорее всего, допущена опечатка. Если $AK=AC$ и точка $K$ лежит на отрезке $AC$, то точка $K$ должна совпадать с точкой $C$. В этом случае угол $\angle AKB$ был бы равен углу $\angle ACB$. Но $\triangle ABC$ равнобедренный ($AB=BC$), поэтому угол $\angle ACB$ должен быть острым (иначе сумма двух углов при основании превысит $180^\circ$), а по условию $\angle AKB = 110^\circ$, что является тупым углом. Противоречие.

Наиболее вероятная опечатка в условии — $AK=BK$. Решим задачу при этом условии.

По условию $AB=BC$, значит $\triangle ABC$ — равнобедренный, и $\angle BAC = \angle BCA$. Обозначим эти углы как $\alpha$.

Примем, что $AK=BK$. Тогда $\triangle AKB$ — равнобедренный с основанием $AB$, и углы при его основании равны: $\angle KAB = \angle KBA$.

Поскольку точка $K$ лежит на $AC$, угол $\angle KAB$ совпадает с углом $\angle BAC$. Таким образом, $\angle KAB = \angle KBA = \alpha$.

Рассмотрим $\triangle AKB$. Сумма его углов равна $180^\circ$.

$\angle AKB + \angle KAB + \angle KBA = 180^\circ$

Подставим известные значения: $110^\circ + \alpha + \alpha = 180^\circ$.

$2\alpha = 180^\circ - 110^\circ$

$2\alpha = 70^\circ$

$\alpha = 35^\circ$

Итак, углы при основании $\triangle ABC$ равны $35^\circ$: $\angle BAC = \angle BCA = 35^\circ$.

Теперь найдем искомый угол $B$ в $\triangle ABC$:

$\angle B = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (35^\circ + 35^\circ) = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.

Ответ: $110^\circ$.

в)

По условию, $AB = BC$, значит, $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $AC$. Углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$. Обозначим эти углы как $\alpha$. Тогда искомый угол $\angle B = 180^\circ - 2\alpha$.

По условию, $AK = AC$, значит, $\triangle AKC$ также равнобедренный с основанием $KC$. Углы при его основании равны: $\angle AKC = \angle ACK$.

Из рисунка видно, что точки $K$, $B$, $C$ лежат на одной прямой, поэтому угол $\angle ACK$ совпадает с углом $\angle BCA$. Следовательно, $\angle AKC = \angle ACK = \alpha$.

Сумма углов в $\triangle AKC$ равна $180^\circ$. Найдем угол при вершине $\angle KAC$:

$\angle KAC = 180^\circ - (\angle AKC + \angle ACK) = 180^\circ - (\alpha + \alpha) = 180^\circ - 2\alpha$.

С другой стороны, из рисунка видно, что угол $\angle KAC$ состоит из двух углов: $\angle KAB$ и $\angle BAC$.

$\angle KAC = \angle KAB + \angle BAC$

По условию $\angle KAB = 57^\circ$, а $\angle BAC = \alpha$. Значит, $\angle KAC = 57^\circ + \alpha$.

Теперь у нас есть два выражения для угла $\angle KAC$. Приравняем их:

$180^\circ - 2\alpha = 57^\circ + \alpha$

Решим это уравнение относительно $\alpha$:

$180^\circ - 57^\circ = 2\alpha + \alpha$

$123^\circ = 3\alpha$

$\alpha = \frac{123^\circ}{3} = 41^\circ$

Мы нашли значение угла при основании $\triangle ABC$. Теперь найдем искомый угол $B$:

$\angle B = 180^\circ - 2\alpha = 180^\circ - 2 \cdot 41^\circ = 180^\circ - 82^\circ = 98^\circ$.

Ответ: $98^\circ$.