Геометрия 3D, страница 88 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

Геометрия 3D

Из плотной бумаги сделайте развертку:

а) треугольной пирамиды, у которой в основании лежит равносторонний треугольник со стороной 10 см, а все боковые грани — равнобедренные треугольники с боковой стороной, равной 13 см (рис. 158, а);

б) четырехугольной пирамиды, у которой в основании лежит квадрат со стороной 9 см, а все боковые грани — равнобедренные треугольники с боковой стороной, равной 12 см (рис. 158, б).

Склейте пирамиды по данным разверткам, соединив вместе вершины равнобедренных треугольников.

Рис. 158

а) Чтобы изготовить развертку треугольной пирамиды с заданными параметрами, необходимо выполнить следующие действия:

1. Начертить на плотной бумаге основание пирамиды — равносторонний треугольник со стороной $a = 10$ см.
2. К каждой из трех сторон этого треугольника пристроить боковую грань. Каждая боковая грань представляет собой равнобедренный треугольник. Основание этого треугольника совпадает со стороной основания пирамиды и равно 10 см, а две боковые стороны равны $l = 13$ см.
3. Для точного построения боковых граней можно использовать циркуль. Из каждой вершины треугольника-основания как из центра проведите дугу окружности радиусом 13 см. Точки пересечения дуг, проведенных из двух соседних вершин основания, определят третью вершину каждого равнобедренного треугольника. Соедините полученные точки с вершинами основания.
4. Для последующей склейки модели предусмотрите небольшие клапаны на одной из боковых сторон у двух из трех боковых граней (как показано пунктиром на рисунке 158, а).

Для полноты решения вычислим ключевые параметры пирамиды.

Высота боковой грани (апофема пирамиды) $h_a$ находится по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром $l$, половиной стороны основания $a/2$ и самой апофемой:

$h_a = \sqrt{l^2 - (a/2)^2} = \sqrt{13^2 - (10/2)^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

После вырезания развертки ее следует согнуть по всем линиям и склеить, соединив вершины всех равнобедренных треугольников в одной точке — вершине пирамиды.

Ответ: Развертка представляет собой центральный равносторонний треугольник со стороной 10 см, к каждой стороне которого примыкает по равнобедренному треугольнику со сторонами 13 см, 13 см и 10 см.

б) Чтобы изготовить развертку четырехугольной пирамиды с заданными параметрами, необходимо выполнить следующие действия:

1. Начертить на плотной бумаге основание пирамиды — квадрат со стороной $a = 9$ см.
2. К каждой из четырех сторон квадрата пристроить боковую грань — равнобедренный треугольник. Основание каждого треугольника равно стороне квадрата (9 см), а боковые стороны равны $l = 12$ см.
3. Для построения боковых граней из каждой вершины квадрата как из центра проведите циркулем дугу окружности радиусом 12 см. Точки пересечения дуг от соседних вершин квадрата станут вершинами боковых граней. Соедините эти точки с соответствующими вершинами квадрата.
4. Предусмотрите клапаны для склейки на одной из боковых сторон каждой грани, либо через одну (как показано пунктиром на рисунке 158, б).

Вычислим параметры получившейся пирамиды.

Высота боковой грани (апофема) $h_a$ находится по теореме Пифагора:

$h_a = \sqrt{l^2 - (a/2)^2} = \sqrt{12^2 - (9/2)^2} = \sqrt{144 - 20,25} = \sqrt{123,75}$ см (приблизительно 11,12 см).

Высоту самой пирамиды $H$ можно найти из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота $H$ и половина стороны основания $a/2$, а гипотенузой — апофема $h_a$:

$H = \sqrt{h_a^2 - (a/2)^2} = \sqrt{123,75 - (9/2)^2} = \sqrt{123,75 - 20,25} = \sqrt{103,5}$ см (приблизительно 10,17 см).

Вырежьте развертку, согните ее по сторонам квадрата и склейте боковые грани, соединив их вершины в одной точке.

Ответ: Развертка состоит из квадрата со стороной 9 см (основание) и четырех одинаковых равнобедренных треугольников со сторонами 12 см, 12 см и 9 см (боковые грани), примыкающих к сторонам квадрата.