Номер 29.61, страница 139 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.61*. На рисунке 20 изображен график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$. Определите:

а) область определения функции;

б) множество значений функции;

в) наибольшее значение функции;

г) уравнение оси симметрии параболы;

д) нули функции;

е) промежутки знакопостоянства функции;

ж) промежутки монотонности функции.

Для точного решения данной задачи необходимо изображение графика (рисунок 20), которое не было предоставлено. В качестве примера и демонстрации метода решения будут найдены все характеристики для типичной параболы, которая могла бы быть изображена.

Предположим, что на рисунке изображен график функции $y = ax^2+bx+c$, представляющий собой параболу с ветвями, направленными вниз. Пусть вершина этой параболы находится в точке с координатами $(1, 4)$, а точки пересечения с осью абсцисс (нули функции) — $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

а) область определения функции

Область определения — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Квадратичная функция определена для любых действительных чисел $x$.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

б) множество значений функции

Множество значений — это множество всех значений, которые может принимать функция $y$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, ее значение ограничено сверху ординатой вершины. Вершина находится в точке $(1, 4)$, следовательно, максимальное значение функции равно 4.

Ответ: $(-\infty; 4]$.

в) наибольшее значение функции

Наибольшее значение функции для параболы с ветвями, направленными вниз, — это ордината ее вершины. Для нашей параболы это значение равно 4.

Ответ: $y_{max} = 4$.

г) уравнение оси симметрии параболы

Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Уравнение этой прямой имеет вид $x = x_0$, где $x_0$ — абсцисса вершины. В нашем случае абсцисса вершины равна 1.

Ответ: $x = 1$.

д) нули функции

Нули функции — это значения $x$, при которых $y = 0$. Графически это абсциссы точек пересечения графика с осью $Ox$. По нашему предположению, это точки $x = -1$ и $x = 3$.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 3$.

е) промежутки знакопостоянства функции

Это промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (положительна или отрицательна).
Функция положительна ($y > 0$), когда ее график находится выше оси $Ox$. Для нашей параболы, с ветвями вниз и нулями в точках -1 и 3, это интервал между нулями.
Функция отрицательна ($y < 0$), когда ее график находится ниже оси $Ox$. Это происходит левее меньшего корня и правее большего.

Ответ: функция положительна на интервале $(-1; 3)$; функция отрицательна на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(3; +\infty)$.

ж) промежутки монотонности функции

Это промежутки, на которых функция возрастает или убывает. Вершина параболы в точке $x=1$ является точкой изменения характера монотонности.
Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция возрастает на промежутке до вершины и убывает после нее.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$, убывает на промежутке $[1; +\infty)$.