Номер 23.34, страница 109 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

23.34. Разложите на множители:

а) $7 + \sqrt{7}$;

б) $\sqrt{5} - 5$;

в) $2\sqrt{3} + 3$;

г) $\sqrt{2} - \sqrt{14}$;

д) $\sqrt{15} + \sqrt{5}$;

е) $\sqrt{21} - 4\sqrt{7}$.

а) Чтобы разложить на множители выражение $7 + \sqrt{7}$, представим число 7 в виде произведения корней. Мы знаем, что для любого неотрицательного числа $a$ справедливо равенство $a = (\sqrt{a})^2 = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a}$.
Таким образом, $7 = \sqrt{7} \cdot \sqrt{7}$.
Подставим это в исходное выражение:
$7 + \sqrt{7} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} + \sqrt{7}$
Теперь мы можем вынести общий множитель $\sqrt{7}$ за скобки:
$\sqrt{7}(\sqrt{7} + 1)$
Ответ: $\sqrt{7}(\sqrt{7} + 1)$.

б) В выражении $\sqrt{5} - 5$ представим число 5 как $(\sqrt{5})^2$.
$\sqrt{5} - 5 = \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}$
Вынесем общий множитель $\sqrt{5}$ за скобки:
$\sqrt{5}(1 - \sqrt{5})$
Ответ: $\sqrt{5}(1 - \sqrt{5})$.

в) В выражении $2\sqrt{3} + 3$ представим число 3 как $(\sqrt{3})^2$.
$2\sqrt{3} + 3 = 2\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}$
Вынесем общий множитель $\sqrt{3}$ за скобки:
$\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})$
Ответ: $\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})$.

г) В выражении $\sqrt{2} - \sqrt{14}$ используем свойство корня $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$.
Представим $\sqrt{14}$ как $\sqrt{2 \cdot 7} = \sqrt{2}\sqrt{7}$.
Исходное выражение примет вид:
$\sqrt{2} - \sqrt{2}\sqrt{7}$
Вынесем общий множитель $\sqrt{2}$ за скобки:
$\sqrt{2}(1 - \sqrt{7})$
Ответ: $\sqrt{2}(1 - \sqrt{7})$.

д) В выражении $\sqrt{15} + \sqrt{5}$ представим $\sqrt{15}$ как $\sqrt{3 \cdot 5} = \sqrt{3}\sqrt{5}$.
Исходное выражение примет вид:
$\sqrt{3}\sqrt{5} + \sqrt{5}$
Вынесем общий множитель $\sqrt{5}$ за скобки:
$\sqrt{5}(\sqrt{3} + 1)$
Ответ: $\sqrt{5}(\sqrt{3} + 1)$.

е) В выражении $\sqrt{21} - 4\sqrt{7}$ представим $\sqrt{21}$ как $\sqrt{3 \cdot 7} = \sqrt{3}\sqrt{7}$.
Исходное выражение примет вид:
$\sqrt{3}\sqrt{7} - 4\sqrt{7}$
Вынесем общий множитель $\sqrt{7}$ за скобки:
$\sqrt{7}(\sqrt{3} - 4)$
Ответ: $\sqrt{7}(\sqrt{3} - 4)$.