Номер 19.16, страница 87 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

19.16* Найдите, при каких значениях $a$ и $b$ пара чисел $(1; -2)$ является решением системы уравнений

По условию, пара чисел $(1; -2)$ является решением системы уравнений. Это означает, что если подставить $x=1$ и $y=-2$ в каждое из уравнений системы, то получатся верные числовые равенства.

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} ax + by = 4, \\ ax - by = -24. \end{cases} $$

Подставим значения $x=1$ и $y=-2$ в эту систему.

Первое уравнение примет вид:
$a \cdot 1 + b \cdot (-2) = 4$
$a - 2b = 4$

Второе уравнение примет вид:
$a \cdot 1 - b \cdot (-2) = -24$
$a + 2b = -24$

Мы получили новую систему двух линейных уравнений с двумя переменными $a$ и $b$: $$ \begin{cases} a - 2b = 4, \\ a + 2b = -24. \end{cases} $$

Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения, поскольку коэффициенты при переменной $b$ являются противоположными числами. Сложим почленно левые и правые части уравнений:
$(a - 2b) + (a + 2b) = 4 + (-24)$
$2a = -20$
$a = \frac{-20}{2}$
$a = -10$

Теперь, когда мы нашли значение $a$, подставим его в любое из уравнений полученной системы, чтобы найти $b$. Воспользуемся первым уравнением $a - 2b = 4$:
$-10 - 2b = 4$
$-2b = 4 + 10$
$-2b = 14$
$b = \frac{14}{-2}$
$b = -7$

Таким образом, при $a=-10$ и $b=-7$ пара чисел $(1; -2)$ будет являться решением исходной системы уравнений.

Ответ: $a = -10$, $b = -7$.