Номер 1.48, страница 12 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.48. Представьте выражение в виде степени с основанием 2:

а) $\frac{2 \cdot 8^5}{32}$;

б) $\frac{8^4 \cdot 16^5}{4^5}$;

в) $\frac{64^3 \cdot 16^2}{128}$;

г) $\frac{64^9}{8^3 \cdot 32^2}$.

а) Чтобы представить выражение $\frac{2 \cdot 8^5}{32}$ в виде степени с основанием 2, сначала представим каждое число в выражении как степень двойки.
Мы знаем, что $2 = 2^1$, $8 = 2^3$ и $32 = 2^5$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{2^1 \cdot (2^3)^5}{2^5}$
Применяя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$\frac{2^1 \cdot 2^{3 \cdot 5}}{2^5} = \frac{2^1 \cdot 2^{15}}{2^5}$
Далее, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ в числителе:
$\frac{2^{1+15}}{2^5} = \frac{2^{16}}{2^5}$
Наконец, применяя свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2^{16-5} = 2^{11}$
Ответ: $2^{11}$

б) Рассмотрим выражение $\frac{8^4 \cdot 16^5}{4^5}$. Представим все основания в виде степени числа 2.
$8 = 2^3$, $16 = 2^4$ и $4 = 2^2$.
Подставим эти значения:
$\frac{(2^3)^4 \cdot (2^4)^5}{(2^2)^5}$
Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$\frac{2^{3 \cdot 4} \cdot 2^{4 \cdot 5}}{2^{2 \cdot 5}} = \frac{2^{12} \cdot 2^{20}}{2^{10}}$
Применим свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для числителя:
$\frac{2^{12+20}}{2^{10}} = \frac{2^{32}}{2^{10}}$
Используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2^{32-10} = 2^{22}$
Ответ: $2^{22}$

в) Рассмотрим выражение $\frac{64^3 \cdot 16^2}{128}$. Представим все числа как степени двойки.
$64 = 2^6$, $16 = 2^4$ и $128 = 2^7$.
Подставим в выражение:
$\frac{(2^6)^3 \cdot (2^4)^2}{2^7}$
Применяем правило возведения степени в степень:
$\frac{2^{6 \cdot 3} \cdot 2^{4 \cdot 2}}{2^7} = \frac{2^{18} \cdot 2^8}{2^7}$
Складываем показатели в числителе:
$\frac{2^{18+8}}{2^7} = \frac{2^{26}}{2^7}$
Вычитаем показатель знаменателя из показателя числителя:
$2^{26-7} = 2^{19}$
Ответ: $2^{19}$

г) Рассмотрим выражение $\frac{64^9}{8^3 \cdot 32^2}$. Заменим все числа степенями с основанием 2.
$64 = 2^6$, $8 = 2^3$ и $32 = 2^5$.
Подставим в выражение:
$\frac{(2^6)^9}{(2^3)^3 \cdot (2^5)^2}$
Упростим числитель и знаменатель, используя правило $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$\frac{2^{6 \cdot 9}}{2^{3 \cdot 3} \cdot 2^{5 \cdot 2}} = \frac{2^{54}}{2^9 \cdot 2^{10}}$
Упростим знаменатель, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$\frac{2^{54}}{2^{9+10}} = \frac{2^{54}}{2^{19}}$
Применим правило деления степеней:
$2^{54-19} = 2^{35}$
Ответ: $2^{35}$