Номер 15.22, страница 69 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

15.22. Известно, что $3 < n \le 5$ и $2 < m \le 9$. Оцените значение выражения:

а) $2n$;

б) $-m$;

в) $\frac{n}{5}$;

г) $\frac{8}{m}$;

д) $n+m$;

е) $m-n$;

ж) $nm$;

з) $\frac{m}{n}$;

и) $5m-4n$;

к) $2m-\frac{3}{n}$.

а) 2n
Дано неравенство $3 < n \le 5$. Чтобы оценить выражение $2n$, умножим все части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства не изменятся:
$2 \cdot 3 < 2 \cdot n \le 2 \cdot 5$
$6 < 2n \le 10$
Ответ: $6 < 2n \le 10$.

б) -m
Дано неравенство $2 < m \le 9$. Чтобы оценить выражение $-m$, умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-1 \cdot 2 > -1 \cdot m \ge -1 \cdot 9$
$-2 > -m \ge -9$
Для удобства запишем неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):
$-9 \le -m < -2$
Ответ: $-9 \le -m < -2$.

в) $\frac{n}{5}$
Дано неравенство $3 < n \le 5$. Чтобы оценить выражение $\frac{n}{5}$, разделим все части неравенства на 5. Так как 5 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:
$\frac{3}{5} < \frac{n}{5} \le \frac{5}{5}$
$\frac{3}{5} < \frac{n}{5} \le 1$
Ответ: $\frac{3}{5} < \frac{n}{5} \le 1$.

г) $\frac{8}{m}$
Дано неравенство $2 < m \le 9$. Так как все части неравенства положительны, для нахождения оценки $\frac{1}{m}$ мы можем взять обратные величины, изменив знаки неравенства на противоположные:
$\frac{1}{2} > \frac{1}{m} \ge \frac{1}{9}$
Запишем в стандартном виде: $\frac{1}{9} \le \frac{1}{m} < \frac{1}{2}$.
Теперь умножим все части на 8 (положительное число), знаки неравенства сохранятся:
$8 \cdot \frac{1}{9} \le 8 \cdot \frac{1}{m} < 8 \cdot \frac{1}{2}$
$\frac{8}{9} \le \frac{8}{m} < 4$
Ответ: $\frac{8}{9} \le \frac{8}{m} < 4$.

д) n + m
Даны неравенства $3 < n \le 5$ и $2 < m \le 9$. Чтобы оценить сумму $n+m$, сложим эти неравенства почленно:
$3 < n \le 5$
+ $2 < m \le 9$
------------------
$3 + 2 < n + m \le 5 + 9$
$5 < n + m \le 14$
Ответ: $5 < n + m \le 14$.

е) m - n
Оценим выражение $m - n$, представив его в виде суммы $m + (-n)$.
Сначала найдем оценку для $-n$. Известно, что $3 < n \le 5$. Умножим на -1, изменив знаки неравенства: $-3 > -n \ge -5$, или $-5 \le -n < -3$.
Теперь сложим неравенства для $m$ ($2 < m \le 9$) и $-n$:
$2 < m \le 9$
+ $-5 \le -n < -3$
--------------------
$2 + (-5) < m + (-n) < 9 + (-3)$
$-3 < m - n < 6$
Ответ: $-3 < m - n < 6$.

ж) nm
Даны неравенства $3 < n \le 5$ и $2 < m \le 9$. Так как $n$ и $m$ принимают только положительные значения, мы можем почленно перемножить эти неравенства:
$3 < n \le 5$
x $2 < m \le 9$
------------------
$3 \cdot 2 < n \cdot m \le 5 \cdot 9$
$6 < nm \le 45$
Ответ: $6 < nm \le 45$.

з) $\frac{m}{n}$
Оценим выражение $\frac{m}{n}$, представив его в виде произведения $m \cdot \frac{1}{n}$.
Сначала найдем оценку для $\frac{1}{n}$. Из $3 < n \le 5$ следует $\frac{1}{5} \le \frac{1}{n} < \frac{1}{3}$.
Теперь перемножим неравенства для $m$ ($2 < m \le 9$) и $\frac{1}{n}$, так как все части положительны:
$2 < m \le 9$
x $\frac{1}{5} \le \frac{1}{n} < \frac{1}{3}$
--------------------
$2 \cdot \frac{1}{5} < m \cdot \frac{1}{n} < 9 \cdot \frac{1}{3}$
$\frac{2}{5} < \frac{m}{n} < 3$
Ответ: $\frac{2}{5} < \frac{m}{n} < 3$.

и) 5m - 4n
Представим выражение как сумму $5m + (-4n)$ и найдем оценки для каждого слагаемого.
1. Из $2 < m \le 9$ умножением на 5 получаем: $10 < 5m \le 45$.
2. Из $3 < n \le 5$ умножением на 4 получаем: $12 < 4n \le 20$. Для $-4n$ имеем: $-20 \le -4n < -12$.
Теперь сложим полученные неравенства:
$10 < 5m \le 45$
+ $-20 \le -4n < -12$
-------------------------
$10 + (-20) < 5m - 4n < 45 + (-12)$
$-10 < 5m - 4n < 33$
Ответ: $-10 < 5m - 4n < 33$.

к) $2m - \frac{3}{n}$
Представим выражение как сумму $2m + (-\frac{3}{n})$ и найдем оценки для каждого слагаемого.
1. Из $2 < m \le 9$ умножением на 2 получаем: $4 < 2m \le 18$.
2. Из $3 < n \le 5$ следует $\frac{1}{5} \le \frac{1}{n} < \frac{1}{3}$. Умножим на 3: $\frac{3}{5} \le \frac{3}{n} < 1$. Тогда для $-\frac{3}{n}$ имеем: $-1 < -\frac{3}{n} \le -\frac{3}{5}$.
Теперь сложим полученные неравенства:
$4 < 2m \le 18$
+ $-1 < -\frac{3}{n} \le -\frac{3}{5}$
-------------------------
$4 + (-1) < 2m - \frac{3}{n} \le 18 + (-\frac{3}{5})$
$3 < 2m - \frac{3}{n} \le 18 - \frac{3}{5}$
$3 < 2m - \frac{3}{n} \le \frac{90-3}{5}$
$3 < 2m - \frac{3}{n} \le \frac{87}{5}$
Ответ: $3 < 2m - \frac{3}{n} \le \frac{87}{5}$.