Номер 13.33, страница 60 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13.33*. Представьте сумму в виде произведения:

а) $81n^4 + 4;$

б) $n^4 + 324.$

а) Чтобы представить сумму $81n^4 + 4$ в виде произведения, воспользуемся методом выделения полного квадрата. Представим слагаемые в виде квадратов: $81n^4 = (9n^2)^2$ и $4 = 2^2$. Выражение принимает вид $(9n^2)^2 + 2^2$. Для получения формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = 9n^2$ и $b = 2$, нам не хватает удвоенного произведения $2ab = 2 \cdot 9n^2 \cdot 2 = 36n^2$. Добавим и вычтем этот член в исходном выражении: $81n^4 + 4 = 81n^4 + 36n^2 + 4 - 36n^2$ Сгруппируем первые три слагаемых, которые теперь образуют полный квадрат: $(81n^4 + 36n^2 + 4) - 36n^2 = (9n^2 + 2)^2 - 36n^2$ Заметим, что $36n^2 = (6n)^2$. Теперь мы имеем разность квадратов: $(9n^2 + 2)^2 - (6n)^2$ Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = 9n^2 + 2$ и $B = 6n$: $((9n^2 + 2) - 6n)((9n^2 + 2) + 6n)$ Раскроем внутренние скобки и упорядочим члены по убыванию степеней $n$: $(9n^2 - 6n + 2)(9n^2 + 6n + 2)$
Ответ: $(9n^2 - 6n + 2)(9n^2 + 6n + 2)$.

б) Для разложения выражения $n^4 + 324$ на множители используем тот же метод выделения полного квадрата. Представим слагаемые в виде квадратов: $n^4 = (n^2)^2$ и $324 = 18^2$. Выражение принимает вид $(n^2)^2 + 18^2$. Для формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = n^2$ и $b = 18$, не хватает члена $2ab = 2 \cdot n^2 \cdot 18 = 36n^2$. Добавим и вычтем $36n^2$: $n^4 + 324 = n^4 + 36n^2 + 324 - 36n^2$ Сгруппируем первые три слагаемых в полный квадрат: $(n^4 + 36n^2 + 324) - 36n^2 = (n^2 + 18)^2 - 36n^2$ Выражение $36n^2$ является полным квадратом: $36n^2 = (6n)^2$. Получаем разность квадратов: $(n^2 + 18)^2 - (6n)^2$ Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = n^2 + 18$ и $B = 6n$: $((n^2 + 18) - 6n)((n^2 + 18) + 6n)$ Упорядочим члены внутри скобок: $(n^2 - 6n + 18)(n^2 + 6n + 18)$
Ответ: $(n^2 - 6n + 18)(n^2 + 6n + 18)$.