Номер 5.1, страница 27 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.1. Являются ли тождественно равными следующие выражения:

а) $a - b$ и $b - a;$

б) $a \cdot b$ и $b \cdot a;$

в) $a + b$ и $b + a;$

г) $a : b$ и $b : a?$

а) $a - b$ и $b - a$

Чтобы проверить, являются ли выражения тождественно равными, нужно определить, равны ли их значения при любых допустимых значениях переменных. Возьмем произвольные значения, например, $a = 5$ и $b = 3$.

Найдем значение первого выражения: $a - b = 5 - 3 = 2$.

Найдем значение второго выражения: $b - a = 3 - 5 = -2$.

Поскольку $2 \neq -2$, значения выражений не совпадают. Это означает, что переместительный закон (коммутативность) для операции вычитания не выполняется. Выражения равны только в частном случае, когда $a = b$. Следовательно, они не являются тождественно равными.

Ответ: нет, не являются.

б) $a \cdot b$ и $b \cdot a$

Согласно переместительному (коммутативному) закону умножения, от перемены мест множителей произведение не меняется. Это свойство выполняется для любых чисел $a$ и $b$.

Равенство $a \cdot b = b \cdot a$ является тождеством. Например, при $a = 7$ и $b = 4$:

$a \cdot b = 7 \cdot 4 = 28$

$b \cdot a = 4 \cdot 7 = 28$

Значения выражений равны при любых значениях переменных.

Ответ: да, являются.

в) $a + b$ и $b + a$

Согласно переместительному (коммутативному) закону сложения, от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Это свойство выполняется для любых чисел $a$ и $b$.

Равенство $a + b = b + a$ является тождеством. Например, при $a = 10$ и $b = 5$:

$a + b = 10 + 5 = 15$

$b + a = 5 + 10 = 15$

Значения выражений равны при любых значениях переменных.

Ответ: да, являются.

г) $a : b$ и $b : a$

Чтобы проверить, являются ли выражения тождественно равными, возьмем произвольные значения, для которых выражения определены (т.е. $a \neq 0$ и $b \neq 0$), например, $a = 10$ и $b = 2$.

Найдем значение первого выражения: $a : b = 10 : 2 = 5$.

Найдем значение второго выражения: $b : a = 2 : 10 = 0,2$.

Поскольку $5 \neq 0,2$, значения выражений не совпадают. Это означает, что переместительный закон (коммутативность) для операции деления не выполняется. Выражения равны только в частных случаях (когда $a=b$ или $a=-b$). Следовательно, они не являются тождественно равными.

Ответ: нет, не являются.