Номер 11, страница 207 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11. Решите уравнение

$(2x - 3)(2x + 3) - (x - 2)^2 - 1 = 5x.$

a) $ -4; 3\frac{2}{3};$

б) $ -3\frac{2}{3}; 4;$

в) $ -2\frac{1}{3}; 2;$

г) $ -2; 2\frac{1}{3};$

д) $ -2\frac{2}{3}; 5.$

Исходное уравнение:

$(2x - 3)(2x + 3) - (x - 2)^2 - 1 = 5x$

Для решения уравнения сначала упростим его левую часть. Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для первого произведения и формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ для второго слагаемого.

Применяем формулу разности квадратов для $(2x-3)(2x+3)$:

$(2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9$

Применяем формулу квадрата разности для $(x-2)^2$:

$(x-2)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 - 4x + 4$

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное уравнение:

$(4x^2 - 9) - (x^2 - 4x + 4) - 1 = 5x$

Раскроем скобки, учитывая знак минус перед второй скобкой (он меняет знаки всех слагаемых внутри на противоположные):

$4x^2 - 9 - x^2 + 4x - 4 - 1 = 5x$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(4x^2 - x^2) + 4x + (-9 - 4 - 1) = 5x$

$3x^2 + 4x - 14 = 5x$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$3x^2 + 4x - 5x - 14 = 0$

$3x^2 - x - 14 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты уравнения: $a=3, b=-1, c=-14$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 1 - (-168) = 1 + 168 = 169$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{1 + 13}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 13}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

Таким образом, корнями уравнения являются $-2$ и $2\frac{1}{3}$. Сравнивая полученные корни с предложенными вариантами, видим, что они соответствуют варианту г).

Ответ: г) $-2; 2\frac{1}{3}$