Номер 40.20, страница 201 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

40.20. В геометрической прогрессии $(b_n)$ известно, что $b_{43} \cdot b_{36} = 57$. Найдите значение выражения $b_{33} \cdot b_{46}$.

Пусть $(b_n)$ — это геометрическая прогрессия, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии. Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Согласно условию задачи, нам известно произведение двух членов прогрессии: $b_{43} \cdot b_{36} = 57$.
Выразим каждый из этих членов, используя формулу n-го члена:
$b_{43} = b_1 \cdot q^{43-1} = b_1 \cdot q^{42}$
$b_{36} = b_1 \cdot q^{36-1} = b_1 \cdot q^{35}$
Теперь перемножим эти выражения:
$b_{43} \cdot b_{36} = (b_1 \cdot q^{42}) \cdot (b_1 \cdot q^{35}) = b_1^2 \cdot q^{42+35} = b_1^2 \cdot q^{77}$.
Из условия мы знаем, что это произведение равно 57, следовательно:
$b_1^2 \cdot q^{77} = 57$.

Теперь нам необходимо найти значение выражения $b_{33} \cdot b_{46}$. Снова воспользуемся формулой n-го члена для каждого множителя:
$b_{33} = b_1 \cdot q^{33-1} = b_1 \cdot q^{32}$
$b_{46} = b_1 \cdot q^{46-1} = b_1 \cdot q^{45}$
Найдем их произведение:
$b_{33} \cdot b_{46} = (b_1 \cdot q^{32}) \cdot (b_1 \cdot q^{45}) = b_1^2 \cdot q^{32+45} = b_1^2 \cdot q^{77}$.

Мы получили, что искомое произведение $b_{33} \cdot b_{46}$ также равно $b_1^2 \cdot q^{77}$. Так как мы уже установили, что $b_1^2 \cdot q^{77} = 57$, то и значение искомого выражения равно 57.

Альтернативное решение:
Эту задачу можно решить и короче, используя свойство геометрической прогрессии: для любых натуральных чисел $k, l, m, p$, если $k+l=m+p$, то $b_k \cdot b_l = b_m \cdot b_p$.
Проверим суммы индексов для данных произведений:
Сумма индексов для известного произведения: $43 + 36 = 79$.
Сумма индексов для искомого произведения: $33 + 46 = 79$.
Поскольку суммы индексов равны, то равны и сами произведения:
$b_{33} \cdot b_{46} = b_{43} \cdot b_{36}$.
Так как по условию $b_{43} \cdot b_{36} = 57$, то и $b_{33} \cdot b_{46} = 57$.

Ответ: 57