Номер 39.30, страница 197 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

39.30.Найдите наибольшее целое значение разности арифметической прогрессии $(a_n)$, у которой $a_1 = 100$ и $a_{22}$ — ее первый отрицательный член.

Пусть $d$ — разность арифметической прогрессии $(a_n)$, которая является целым числом. По условию задачи, первый член прогрессии $a_1 = 100$.

Условие, что $a_{22}$ является первым отрицательным членом прогрессии, означает, что сам член $a_{22}$ отрицателен, а предыдущий член $a_{21}$ — неотрицателен. Это можно записать в виде системы неравенств:

$$ \begin{cases} a_{22} < 0 \\ a_{21} \ge 0 \end{cases} $$

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$ и подставим данные из условия в систему:

$$ \begin{cases} 100 + (22-1)d < 0 \\ 100 + (21-1)d \ge 0 \end{cases} $$

Упростим полученные выражения:

$$ \begin{cases} 100 + 21d < 0 \\ 100 + 20d \ge 0 \end{cases} $$

Теперь решим эту систему неравенств относительно $d$:

$$ \begin{cases} 21d < -100 \\ 20d \ge -100 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} d < -\frac{100}{21} \\ d \ge -5 \end{cases} $$

Мы получили двойное неравенство для $d$:

$$ -5 \le d < -\frac{100}{21} $$

Чтобы найти целые значения $d$, которые удовлетворяют этому условию, преобразуем дробь $-\frac{100}{21}$ в смешанное число:

$$ -\frac{100}{21} = -4\frac{16}{21} $$

Таким образом, мы ищем целые числа $d$ в промежутке:

$$ -5 \le d < -4\frac{16}{21} $$

Единственным целым числом, удовлетворяющим этому неравенству, является $-5$. Следовательно, это и есть наибольшее искомое целое значение разности прогрессии.

Ответ: -5