Номер 34.38, страница 170 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.38*. Сократите дробь $ \frac{x + \sqrt{x + y} - \sqrt{y} - 2\sqrt{xy}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} $.

Для сокращения дроби $\frac{x + \sqrt{x} + y - \sqrt{y} - 2\sqrt{xy}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$ необходимо преобразовать её числитель, выделив в нем множитель, равный знаменателю.

Рассмотрим числитель дроби: $x + \sqrt{x} + y - \sqrt{y} - 2\sqrt{xy}$.

Сгруппируем слагаемые. Заметим, что выражение $x - 2\sqrt{xy} + y$ представляет собой полный квадрат разности. Учитывая, что $x = (\sqrt{x})^2$ и $y = (\sqrt{y})^2$, можем записать:

$x - 2\sqrt{xy} + y = (\sqrt{x})^2 - 2\sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2$

Теперь перегруппируем слагаемые в исходном числителе, чтобы использовать эту формулу:

$x + \sqrt{x} + y - \sqrt{y} - 2\sqrt{xy} = (x - 2\sqrt{xy} + y) + (\sqrt{x} - \sqrt{y})$

Заменим первую группу слагаемых на полученный квадрат разности:

$(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 + (\sqrt{x} - \sqrt{y})$

Вынесем общий множитель $(\sqrt{x} - \sqrt{y})$ за скобки:

$(\sqrt{x} - \sqrt{y}) \cdot ((\sqrt{x} - \sqrt{y}) + 1) = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y} + 1)$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y} + 1)}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{x} - \sqrt{y})$. Это возможно при условии, что $x \ge 0$, $y \ge 0$ и $\sqrt{x} - \sqrt{y} \ne 0$, то есть $x \ne y$.

$\frac{\cancel{(\sqrt{x} - \sqrt{y})}(\sqrt{x} - \sqrt{y} + 1)}{\cancel{\sqrt{x} - \sqrt{y}}} = \sqrt{x} - \sqrt{y} + 1$

Ответ: $\sqrt{x} - \sqrt{y} + 1$.