Номер 34.1, страница 165 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.1. Упростите выражение, выполнив сначала действие умножения:

а) $ \frac{a}{b} + \frac{a^2}{b^2} \cdot \frac{b}{2a} $

б) $ \frac{a}{2b} - \frac{4a^2}{b^2} \cdot \frac{b}{2a} $

а) $ \frac{a}{b} + \frac{a^2}{b^2} \cdot \frac{b}{2a} $

Согласно порядку действий, сначала выполняем умножение дробей. Для этого перемножаем числители и знаменатели:

$ \frac{a^2}{b^2} \cdot \frac{b}{2a} = \frac{a^2 \cdot b}{b^2 \cdot 2a} $

Теперь сокращаем полученную дробь. Сокращаем $a^2$ и $a$ на $a$, а $b$ и $b^2$ на $b$:

$ \frac{a \cdot a \cdot b}{b \cdot b \cdot 2 \cdot a} = \frac{a}{2b} $

Подставляем полученное значение обратно в исходное выражение и выполняем сложение:

$ \frac{a}{b} + \frac{a}{2b} $

Приводим дроби к общему знаменателю $2b$. Для этого домножаем числитель и знаменатель первой дроби на 2:

$ \frac{a \cdot 2}{b \cdot 2} + \frac{a}{2b} = \frac{2a}{2b} + \frac{a}{2b} $

Складываем числители, оставляя знаменатель без изменений:

$ \frac{2a+a}{2b} = \frac{3a}{2b} $

Ответ: $ \frac{3a}{2b} $.

б) $ \frac{a}{2b} - \frac{4a^2}{b^2} \cdot \frac{b}{2a} $

Сначала выполняем умножение:

$ \frac{4a^2}{b^2} \cdot \frac{b}{2a} = \frac{4a^2 \cdot b}{b^2 \cdot 2a} $

Сокращаем полученную дробь. Сокращаем числовые коэффициенты 4 и 2 на 2, переменные $a^2$ и $a$ на $a$, а $b$ и $b^2$ на $b$:

$ \frac{2 \cdot 2 \cdot a \cdot a \cdot b}{b \cdot b \cdot 2 \cdot a} = \frac{2a}{b} $

Подставляем упрощенную дробь обратно в исходное выражение:

$ \frac{a}{2b} - \frac{2a}{b} $

Приводим дроби к общему знаменателю $2b$. Для этого домножаем числитель и знаменатель второй дроби на 2:

$ \frac{a}{2b} - \frac{2a \cdot 2}{b \cdot 2} = \frac{a}{2b} - \frac{4a}{2b} $

Выполняем вычитание числителей:

$ \frac{a - 4a}{2b} = \frac{-3a}{2b} = -\frac{3a}{2b} $

Ответ: $ -\frac{3a}{2b} $.