Номер 32.48, страница 157 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

32.48*. При каких значениях переменной выражение имеет смысл:

a) $ \frac{x+5}{(|x|-5)|x+5|(5+x^2)} $;

б) $ \frac{x^2+9}{|b+4|+5} $?

а)

Выражение имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю. Знаменатель данного выражения: $ (|x|-5)x+5(5+x^2) $.

Чтобы найти значения переменной $x$, при которых выражение не имеет смысла, нужно найти корни уравнения, где знаменатель равен нулю:

$ (|x|-5)x+5(5+x^2) = 0 $

Раскроем скобки и упростим выражение:

$ x|x| - 5x + 25 + 5x^2 = 0 $

Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.

1. Если $ x \ge 0 $, то $ |x| = x $. Уравнение принимает вид:

$ x \cdot x - 5x + 25 + 5x^2 = 0 $

$ x^2 - 5x + 25 + 5x^2 = 0 $

$ 6x^2 - 5x + 25 = 0 $

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 25 = 25 - 600 = -575 $

Так как дискриминант $ D < 0 $, а старший коэффициент $ a=6 > 0 $, то квадратный трехчлен $ 6x^2 - 5x + 25 $ всегда принимает положительные значения. Следовательно, при $ x \ge 0 $ уравнение не имеет корней.

2. Если $ x < 0 $, то $ |x| = -x $. Уравнение принимает вид:

$ x \cdot (-x) - 5x + 25 + 5x^2 = 0 $

$ -x^2 - 5x + 25 + 5x^2 = 0 $

$ 4x^2 - 5x + 25 = 0 $

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 25 = 25 - 400 = -375 $

Так как дискриминант $ D < 0 $, а старший коэффициент $ a=4 > 0 $, то квадратный трехчлен $ 4x^2 - 5x + 25 $ также всегда принимает положительные значения. Следовательно, при $ x < 0 $ уравнение также не имеет корней.

Таким образом, знаменатель дроби никогда не обращается в ноль. Это означает, что выражение имеет смысл при любых действительных значениях переменной $x$.

Ответ: выражение имеет смысл при любом значении $x$.

б)

Выражение $ \frac{x^2+9}{|b+4|+5} $ имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю. Знаменатель данного выражения: $ |b+4|+5 $.

Рассмотрим знаменатель. По определению, модуль любого числа является неотрицательной величиной, то есть $ |b+4| \ge 0 $ для любого значения $b$.

Прибавив 5 к обеим частям неравенства, получим:

$ |b+4| + 5 \ge 0 + 5 $

$ |b+4| + 5 \ge 5 $

Знаменатель дроби всегда больше или равен 5, а значит, он никогда не может быть равен нулю.

Числитель выражения $ x^2+9 $ является многочленом и определен для любого значения $x$.

Следовательно, данное выражение имеет смысл при любых действительных значениях переменных $x$ и $b$.

Ответ: выражение имеет смысл при любых значениях переменных $x$ и $b$.