Номер 32.36, страница 156 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

32.36. Найдите значение выражения $ \frac{x^2 - 4x + 4}{(x+4)^2 - 36} $ при $ x=2,5 $.

32.36. Чтобы найти значение выражения, сначала упростим его. Это позволит избежать громоздких вычислений. Разложим числитель и знаменатель на множители.

1. Упрощение числителя:

Выражение в числителе $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом разности. Применим формулу сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a=x$ и $b=2$.

$x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x-2)^2$

2. Упрощение знаменателя:

Выражение в знаменателе $(x+4)^2 - 36$ является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В нашем случае $a = (x+4)$ и $b = \sqrt{36} = 6$.

$(x+4)^2 - 36 = (x+4)^2 - 6^2 = ((x+4)-6)((x+4)+6) = (x-2)(x+10)$

3. Упрощение всего выражения:

Теперь подставим полученные разложения обратно в исходную дробь:

$\frac{x^2 - 4x + 4}{(x+4)^2 - 36} = \frac{(x-2)^2}{(x-2)(x+10)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-2)$. Это возможно, так как по условию $x=2,5$, следовательно $x-2 \neq 0$.

$\frac{(x-2)^{\cancel{2}}}{\cancel{(x-2)}(x+10)} = \frac{x-2}{x+10}$

4. Вычисление значения:

Подставим значение $x=2,5$ в упрощенное выражение:

$\frac{2,5 - 2}{2,5 + 10} = \frac{0,5}{12,5}$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель на 10:

$\frac{0,5 \cdot 10}{12,5 \cdot 10} = \frac{5}{125}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$\frac{5}{125} = \frac{1}{25}$

Для получения конечного ответа переведем обыкновенную дробь в десятичную:

$\frac{1}{25} = 0,04$

Ответ: $0,04$.