Номер 10, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.10. Найдите сумму наибольшего и наименьшего целых решений неравенства $\log_{0,2}^2 (x - 1) \le 9$.

Для нахождения суммы наибольшего и наименьшего целых решений неравенства $\log_{0.2}^2(x-1) \le 9$ выполним следующие действия.

1. Решение неравенства

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x - 1 > 0 \implies x > 1$.

Теперь решим само неравенство. Введем замену переменной, пусть $t = \log_{0.2}(x-1)$. Неравенство примет вид:

$t^2 \le 9$

Это квадратное неравенство равносильно $|t| \le 3$, или двойному неравенству:

$-3 \le t \le 3$

Выполним обратную замену:

$-3 \le \log_{0.2}(x-1) \le 3$

Так как основание логарифма $0.2$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция является убывающей. При потенцировании (переходе от логарифмов к их аргументам) знаки неравенства меняются на противоположные:

$(0.2)^{-3} \ge x-1 \ge (0.2)^3$

Вычислим значения в левой и правой частях:

$(0.2)^{-3} = (\frac{1}{5})^{-3} = 5^3 = 125$

$(0.2)^3 = (\frac{1}{5})^3 = \frac{1}{125}$

Подставим вычисленные значения в неравенство:

$125 \ge x-1 \ge \frac{1}{125}$

Прибавим 1 ко всем частям двойного неравенства:

$125 + 1 \ge x \ge \frac{1}{125} + 1$

$126 \ge x \ge \frac{126}{125}$

Таким образом, решение неравенства, с учетом ОДЗ, — это промежуток $x \in [\frac{126}{125}, 126]$.

2. Нахождение целых решений и их суммы

Требуется найти целые числа, принадлежащие полученному отрезку $[\frac{126}{125}, 126]$. Выделим целую часть из неправильной дроби: $\frac{126}{125} = 1\frac{1}{125}$.

Наименьшее целое решение: Наименьшее целое число, которое больше или равно $1\frac{1}{125}$, — это 2. Ответ: 2

Наибольшее целое решение: Наибольшее целое число, которое меньше или равно 126, — это 126. Ответ: 126

Сумма наибольшего и наименьшего целых решений: Складываем найденные значения: $2 + 126 = 128$. Ответ: 128