Номер 7, страница 8 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.7. Вычислите:

а) $10^{3\sin^2 \frac{\pi}{12}} \cdot 10^{3\cos^2 \frac{\pi}{12}}$;

б) $(17^{\operatorname{tg}89^{\circ}})^{2\operatorname{ctg}89^{\circ}}$;

в) $(25^{\cos\frac{\pi}{6}})^{\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}}$;

г) $49^{\sin\frac{2\pi}{3}} : 7^{\operatorname{ctg}\frac{7\pi}{6}}$.

а) Для вычисления выражения $10^{3\sin^2\frac{\pi}{12}} \cdot 10^{3\cos^2\frac{\pi}{12}}$ воспользуемся свойством степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$10^{3\sin^2\frac{\pi}{12}} \cdot 10^{3\cos^2\frac{\pi}{12}} = 10^{3\sin^2\frac{\pi}{12} + 3\cos^2\frac{\pi}{12}}$
Вынесем общий множитель 3 в показателе степени:
$10^{3(\sin^2\frac{\pi}{12} + \cos^2\frac{\pi}{12})}$
Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, где $\alpha = \frac{\pi}{12}$.
$10^{3(1)} = 10^3 = 1000$.
Ответ: 1000.

б) Для вычисления выражения $(17^{\tg 89^\circ})^{2\ctg 89^\circ}$ воспользуемся свойством степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(17^{\tg 89^\circ})^{2\ctg 89^\circ} = 17^{\tg 89^\circ \cdot 2\ctg 89^\circ} = 17^{2 \cdot \tg 89^\circ \cdot \ctg 89^\circ}$
Применим тригонометрическое тождество $\tg\alpha \cdot \ctg\alpha = 1$, где $\alpha = 89^\circ$.
$17^{2 \cdot 1} = 17^2 = 289$.
Ответ: 289.

в) Для вычисления выражения $(25^{\cos\frac{\pi}{6}})^{\tg\frac{\pi}{3}}$ сначала найдем значения тригонометрических функций.
$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tg\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$(25^{\frac{\sqrt{3}}{2}})^{\sqrt{3}}$
Воспользуемся свойством степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$25^{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3}} = 25^{\frac{3}{2}}$
Представим 25 как $5^2$:
$(5^2)^{\frac{3}{2}} = 5^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 5^3 = 125$.
Ответ: 125.

г) Для вычисления выражения $49^{\sin\frac{2\pi}{3}} : 7^{\ctg\frac{7\pi}{6}}$ сначала найдем значения тригонометрических функций.
$\sin\frac{2\pi}{3} = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\ctg\frac{7\pi}{6} = \ctg(\pi + \frac{\pi}{6}) = \ctg\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$49^{\frac{\sqrt{3}}{2}} : 7^{\sqrt{3}}$
Представим 49 как $7^2$:
$(7^2)^{\frac{\sqrt{3}}{2}} : 7^{\sqrt{3}} = 7^{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} : 7^{\sqrt{3}} = 7^{\sqrt{3}} : 7^{\sqrt{3}}$
Воспользуемся свойством степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$7^{\sqrt{3} - \sqrt{3}} = 7^0 = 1$.
Ответ: 1.