Номер 28.2, страница 138 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

28.2. Используйте алгоритм исследования графика функции с помощью производной и постройте график функции:

а) $f(x) = 2x^3 + x^2 - 8x - 5;$

б) $f(x) = -x^4 + 5x^2 - 4;$

в) $f(x) = (x - 1)^2 (x + 2);$

г) $f(x) = x^3 (2 - x).$

а) $f(x) = 2x^3 + x^2 - 8x - 5$

Проведем полное исследование функции для построения ее графика.

1. Область определения.

Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy: при $x=0$, $y = f(0) = 2(0)^3 + (0)^2 - 8(0) - 5 = -5$. Точка пересечения $(0, -5)$.

С осью Ox: при $y=0$, $2x^3 + x^2 - 8x - 5 = 0$. Нахождение корней этого кубического уравнения затруднительно, поэтому пропустим этот шаг и уточним положение корней при построении графика.

3. Четность и периодичность.

$f(-x) = 2(-x)^3 + (-x)^2 - 8(-x) - 5 = -2x^3 + x^2 + 8x - 5$.

Поскольку $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида). Функция непериодическая.

4. Асимптоты.

Вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты отсутствуют, так как функция является многочленом.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Находим первую производную: $f'(x) = (2x^3 + x^2 - 8x - 5)' = 6x^2 + 2x - 8$.

Находим критические точки, приравнивая производную к нулю: $6x^2 + 2x - 8 = 0$, или $3x^2 + x - 4 = 0$.

Решаем квадратное уравнение: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4)}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{6} = \frac{-1 \pm 7}{6}$.

Критические точки: $x_1 = \frac{-1 - 7}{6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$ и $x_2 = \frac{-1 + 7}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Исследуем знак производной: $f'(x) > 0$ на $(-\infty, -4/3)$ и $(1, +\infty)$ (функция возрастает), $f'(x) < 0$ на $(-4/3, 1)$ (функция убывает).

В точке $x = -4/3$ происходит смена знака производной с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = f(-4/3) = 2(-\frac{4}{3})^3 + (-\frac{4}{3})^2 - 8(-\frac{4}{3}) - 5 = \frac{73}{27}$.

В точке $x = 1$ происходит смена знака производной с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = f(1) = 2(1)^3 + 1^2 - 8(1) - 5 = -10$.

6. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Находим вторую производную: $f''(x) = (6x^2 + 2x - 8)' = 12x + 2$.

Находим точку перегиба, приравнивая вторую производную к нулю: $12x + 2 = 0 \implies x = -1/6$.

При $x < -1/6$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый). При $x > -1/6$, $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз (выпуклый).

Точка $x = -1/6$ является точкой перегиба. $y_{перегиба} = f(-1/6) = 2(-\frac{1}{6})^3 + (-\frac{1}{6})^2 - 8(-\frac{1}{6}) - 5 = -\frac{197}{54}$.

а) $f(x) = 2x^3 + x^2 - 8x - 5$ Ответ: Функция возрастает на интервалах $(-\infty, -1\frac{1}{3}]$ и $[1, +\infty)$, убывает на $[-1\frac{1}{3}, 1]$. Точка локального максимума: $(-1\frac{1}{3}, \textbf{2}\frac{19}{27})$. Точка локального минимума: $(1, -10)$. График функции является выпуклым вверх (вогнутым) на $(-\infty, -1/6)$ и выпуклым вниз (выпуклым) на $(-1/6, +\infty)$. Точка перегиба: $(-1/6, -\textbf{3}\frac{35}{54})$.

б) $f(x) = -x^4 + 5x^2 - 4$

Проведем полное исследование функции для построения ее графика.

1. Область определения.

Область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy: при $x=0$, $y = f(0) = -4$. Точка $(0, -4)$.

С осью Ox: при $y=0$, $-x^4 + 5x^2 - 4 = 0$. Замена $t = x^2$ ($t \ge 0$) дает $t^2 - 5t + 4 = 0$, откуда $t_1=1, t_2=4$. Тогда $x^2=1 \implies x=\pm 1$ и $x^2=4 \implies x=\pm 2$. Точки пересечения: $(-2, 0), (-1, 0), (1, 0), (2, 0)$.

3. Четность и периодичность.

$f(-x) = -(-x)^4 + 5(-x)^2 - 4 = -x^4 + 5x^2 - 4 = f(x)$. Функция является четной, ее график симметричен относительно оси Oy. Функция непериодическая.

4. Асимптоты.

Асимптоты отсутствуют.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Первая производная: $f'(x) = -4x^3 + 10x = -2x(2x^2 - 5)$.

Критические точки: $f'(x) = 0 \implies x=0$ или $2x^2 - 5 = 0 \implies x = \pm\sqrt{5/2} = \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$.

Исследуем знак производной: $f'(x) > 0$ на $(-\infty, -\frac{\sqrt{10}}{2})$ и $(0, \frac{\sqrt{10}}{2})$ (функция возрастает), $f'(x) < 0$ на $(-\frac{\sqrt{10}}{2}, 0)$ и $(\frac{\sqrt{10}}{2}, +\infty)$ (функция убывает).

Точки $x = \pm\frac{\sqrt{10}}{2}$ — точки локального максимума. $y_{max} = f(\pm\sqrt{5/2}) = -(\frac{5}{2})^2 + 5(\frac{5}{2}) - 4 = -\frac{25}{4} + \frac{50}{4} - \frac{16}{4} = \frac{9}{4}$.

Точка $x = 0$ — точка локального минимума. $y_{min} = f(0) = -4$.

6. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Вторая производная: $f''(x) = -12x^2 + 10$.

Точки перегиба: $f''(x) = 0 \implies 12x^2 = 10 \implies x^2 = 5/6 \implies x = \pm\sqrt{5/6}$.

При $x \in (-\sqrt{5/6}, \sqrt{5/6})$, $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз (выпуклый). При $x \in (-\infty, -\sqrt{5/6}) \cup (\sqrt{5/6}, +\infty)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх (вогнутый).

Точки $x = \pm\sqrt{5/6}$ — точки перегиба. $y_{перегиба} = f(\pm\sqrt{5/6}) = -(\frac{5}{6})^2 + 5(\frac{5}{6}) - 4 = -\frac{25}{36} + \frac{150}{36} - \frac{144}{36} = -\frac{19}{36}$.

б) $f(x) = -x^4 + 5x^2 - 4$ Ответ: Функция возрастает на $(-\infty, -\frac{\sqrt{10}}{2}]$ и $[0, \frac{\sqrt{10}}{2}]$, убывает на $[-\frac{\sqrt{10}}{2}, 0]$ и $[\frac{\sqrt{10}}{2}, +\infty)$. Точки локального максимума: $(-\frac{\sqrt{10}}{2}, \textbf{2}\frac{1}{4})$ и $(\frac{\sqrt{10}}{2}, \textbf{2}\frac{1}{4})$. Точка локального минимума: $(0, -4)$. График выпуклый вниз на $(-\sqrt{5/6}, \sqrt{5/6})$, выпуклый вверх на $(-\infty, -\sqrt{5/6}) \cup (\sqrt{5/6}, +\infty)$. Точки перегиба: $(\pm\sqrt{5/6}, -19/36)$.

в) $f(x) = (x-1)^2(x+2)$

Раскроем скобки для удобства дифференцирования: $f(x) = (x^2 - 2x + 1)(x+2) = x^3 - 3x + 2$.

1. Область определения.

$D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy: $x=0 \implies y = f(0) = 2$. Точка $(0, 2)$.

С осью Ox: $y=0 \implies (x-1)^2(x+2) = 0 \implies x=1$ (корень кратности 2) и $x=-2$. Точки $(-2, 0)$ и $(1, 0)$.

3. Четность и периодичность.

Функция общего вида, непериодическая.

4. Асимптоты.

Асимптоты отсутствуют.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Первая производная: $f'(x) = (x^3 - 3x + 2)' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$.

Критические точки: $f'(x) = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1$.

Функция возрастает на $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$, убывает на $[-1, 1]$.

Точка $x = -1$ — точка локального максимума. $y_{max} = f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = 4$.

Точка $x = 1$ — точка локального минимума. $y_{min} = f(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 0$.

6. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Вторая производная: $f''(x) = (3x^2 - 3)' = 6x$.

Точка перегиба: $f''(x) = 0 \implies x = 0$.

При $x<0$, $f''(x)<0$, график выпуклый вверх (вогнутый). При $x>0$, $f''(x)>0$, график выпуклый вниз (выпуклый).

Точка $x=0$ — точка перегиба. $y_{перегиба} = f(0) = 2$.

в) $f(x) = (x-1)^2(x+2)$ Ответ: Функция возрастает на $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$, убывает на $[-1, 1]$. Точка локального максимума: $(-1, 4)$. Точка локального минимума: $(1, 0)$. График выпуклый вверх на $(-\infty, 0)$ и выпуклый вниз на $(0, +\infty)$. Точка перегиба: $(0, 2)$.

г) $f(x) = x^3(2-x)$

Раскроем скобки: $f(x) = 2x^3 - x^4$.

1. Область определения.

$D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy: $x=0 \implies y=f(0)=0$. Точка $(0, 0)$.

С осью Ox: $y=0 \implies x^3(2-x) = 0 \implies x=0$ (корень кратности 3) и $x=2$. Точки $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

3. Четность и периодичность.

Функция общего вида, непериодическая.

4. Асимптоты.

Асимптоты отсутствуют.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Первая производная: $f'(x) = (2x^3 - x^4)' = 6x^2 - 4x^3 = 2x^2(3-2x)$.

Критические точки: $f'(x) = 0 \implies x=0$ или $3-2x=0 \implies x=3/2$.

Знак $f'(x)$ определяется знаком выражения $(3-2x)$. $f'(x) > 0$ при $x < 3/2$ (кроме $x=0$), $f'(x) < 0$ при $x > 3/2$. Функция возрастает на $(-\infty, 3/2]$ и убывает на $[3/2, +\infty)$.

В точке $x=0$ производная равна нулю, но знак не меняет, значит, это не точка экстремума.

Точка $x = 3/2$ — точка локального максимума. $y_{max} = f(3/2) = (\frac{3}{2})^3 (2 - \frac{3}{2}) = \frac{27}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{27}{16}$.

6. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Вторая производная: $f''(x) = (6x^2 - 4x^3)' = 12x - 12x^2 = 12x(1-x)$.

Точки перегиба: $f''(x) = 0 \implies x=0$ или $x=1$.

При $x \in (0, 1)$, $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз (выпуклый). При $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх (вогнутый).

Точки перегиба: $x=0$ ($y=f(0)=0$) и $x=1$ ($y=f(1)=1^3(2-1)=1$).

г) $f(x) = x^3(2-x)$ Ответ: Функция возрастает на $(-\infty, 1\frac{1}{2}]$, убывает на $[1\frac{1}{2}, +\infty)$. Точка локального максимума: $(1\frac{1}{2}, \textbf{1}\frac{11}{16})$. Точек локального минимума нет. График выпуклый вверх на $(-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$ и выпуклый вниз на $(0, 1)$. Точки перегиба: $(0, 0)$ и $(1, 1)$.